極限。堪根

張師傅想為公司設計底面為正方型且沒有蓋子的長方體紙盒，裡面白色，外面灰色，在灰色部分面積為432平方公分的限制下，為了使紙盒容量達到最大，它應將此無蓋長方體紙盒的底面每邊邊長設計為幾公分？ans 12令 正方形邊長a ，長方體高 h4ah+a^2=432(2ah)+( 2ha )+a^2=432算幾不等式：[( 2a h)+( 2ha )+a^2]/3 ≧(4h^ 2a ^4)^(1/3)144 ≧(4h^ 2a ^4)^(1/3)12 ≧( 2ha ^2)^(1/3)ha^2≦(12^3)/2=864當 2ah=a^2=432/3 時等號成立a=12 2.方程式2x^3-3x^2-12x+k=0有兩相異負根及一正根，則實數k的範圍為何？Ans. -7<0< font=""><0<>
圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD06940976/o/20130618172136.jpg
2x^3-3x^2-12x=-k其解為 y=2x^3-3x^2-12x 與 y=-k之交點f(x)=2x^3-3x^2-12xf’(x)=6x^2-6x-12=0 , x=-1,2 [極植點]f(-1)=-2-3+12=7f(2)= 16-12-24當2x^3-3x^2-12x=0 , x(2x^2-3x-12)=0 , x=0 ,(3±√105)/4可見 y=-k與 f(x)的交點為兩負一正則 0＜–k＜7-7＜k＜0

f(x)=2x^3-3x^2-12x+k
f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)
因為有三相異實根
所以f(-1)f(2)<0
→(k+7)(k-20)<0
-7<20
又因為兩負根與一正根，由根與係數關係得到k<0
故-7<0

張師傅想為公司設計....


設底邊長 x, 高 y,
則 x^2+4xy = 432, 所以 y = (432-x^2)/(4x) = 108/x - x/4
忽略厚度造成內外體積的差, 則體積
V(x) = x^2 y = x^2(108/x - x/4) = 108x - x^3/4.
V'(x) = 108 -(3/4)x^2, x > 0
x^2 = 108/(3/4) = 144 時 V(x) 極大.
x > 0, 故 x = 12(公分)