關於一題機率問題，求解

這是 9th order Markov chain. 我不知有沒有簡捷的方法求得
長期平穩或平均機率, 實務上或許用 simulation 的方法比較
便利.

2013-06-17 11:33:17 補充：
原先想得太複雜, 其實很簡單.

令 N 表示抽幾次才抽中一次獎, 則
P[N=1] = 0.1
P[N=2] = 0.9*0.2 = 0.18
P[N=3] = 0.9*0.8*0.3 = 0.216
以此類推,
P[N=10] = 0.9*0.8*...*0.1*1.0 = 0.00036288

E[N] = 1*P[N=1]+...+10*P[N=10] = 3.66

長期中, 平均抽 3.66 次才中一次;
所以, 平均中獎機率是 1/3.66 = 0.273

附 Excel 計算:

nP[N=n]10.120.1830.21640.201650.151260.0907270.04233680.014515290.00326592100.000362881E[N] =3.660215680.273207944


2013-06-17 11:38:13 補充：
應該是 9th order, 機率依賴前9期結果.

X(n) = 第 n 次抽. 1=中獎, 0=未中獎.

n>10 時,
　　P[X(n)=1|X(n-1)=1] = 0.1,
　　P[X(n)=1|X(n-1)=0,X(n-2)=1] = 0.2,
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=1] = 0.3,
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=0,X(n-4)=1] = 0.4,
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=0,X(n-4)=0,X(n-5)=1] = 0.5,

2013-06-17 11:38:31 補充：
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=0,X(n-4)=0,X(n-5)=0,X(n-6)=1] = 0.6,
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=0,X(n-4)=0,X(n-5)=0,X(n-6)=0,X(n-7)=1] = 0.7,
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=0,X(n-4)=0,X(n-5)=0,X(n-6)=0,X(n-7)=0,X(n-8)=1] = 0.8,

2013-06-17 11:38:45 補充：
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=0,X(n-4)=0,X(n-5)=0,X(n-6)=0,X(n-7)=0,X(n-8)=0,X(n-9)=1] = 0.9,
　　P[X(n)=1||X(n-1)=0,X(n-2)=0,X(n-3)=0,X(n-4)=0,X(n-5)=0,X(n-6)=0,X(n-7)=0,X(n-8)=0,X(n-9)=0] = 1.0。

2013-06-17 14:05:38 補充：
是 2 states, order 9.
若考慮連續 9 個 steps 的狀態組合 (X{n},X{n-1},....,X{n-8}),
則成普通的(1階的) Markov chain, 但有 2^9 = 512 個 states.

2013-06-17 14:15:37 補充：
Xn = 1 or 0 的條件機率 (on given the past history) 最多依賴過去
9 期 (9 個 steps) 的狀態, 所以是 order 9.

Given (X{n-1},...,X{n-9}), 則 (X{n},...,X{n-8}) 之中後 8 個的狀態已定,
而 X{n} 的狀態機率分布則依賴於 x{n-1},...,X{n-9}. 因此
(X{n},X{n-1},....,X{n-8}) 成為普通的Markov chain.

抽獎的結果僅區分中獎與不中獎的二項分配，有關二項分配的平均數，就是所問長期下來平均中獎機率，所以就是一開始的假設比率10%的中獎機率。

ccc

10%, 20%, .... 100%

是 10th order Markov chain 喔

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通常要用類似 matlab 這種軟體來解

2013-06-17 12:26:55 補充：
>應該是 9th order, 機率依賴前9期結果.
===============================
x1=10%, x2=20%, ..... x10=100%

x1' = 0.1*x1+ 0.2*x2 + .....+ 0.9*x9 + 1*x10

這樣算幾階? 我已經昏了....

2013-06-17 12:29:19 補充：
如果只受前一狀態影響算一階

這算是一階嗎?

所以是十個狀態的一階 Markov chain?