請教教我微積分,謝謝!萬分感謝~

1.
Σ(n+1)^2/n! = Σ(n^2+2n+1)/n! = Σ[n(n-1)+3n+1]/n!
　　 = Σn(n-1)/n! + 3Σn/n! + Σ1/n!
　　 = Σ1/(n-2)! + 3Σ1/(n-1)! + Σ1/n!
　　 = e + 3e + e = 5e

2.
求算旋轉體側表面積為午麼積分 ∫2πy ds 而不是 ∫2πy dx?
這就像求曲線段長度用 ∫ds = ∫√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] dt
而不用 ∫(dx/dt) dt = ∫dx.因為例如 y=f(x) 繞 x 軸旋轉, 當 x 增加 dx 時, 旋轉體表面
增加的是 2πy ds = 2πy√[1+(dy/dx)^2] dx 的面積而非只增
加 2πy dx 的面積. 因為有斜度會使表面擴張. 雖然從絕對量
來看, ds 與 dx 差不多, 但它們相對比值 √[1+(dy/dx)^2] 卻
是不可忽略的. 構成旋轉體的曲線用參數方程式 x=x(t),y=y(t)
表示時, 就是 √[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] 與 dx/dt 之比.例如 y=x, 0<x<1, 繞 x 軸旋轉構成圓錐體, 其側表面積是
∫_[0,1] 2πy√[1+(dy/dx)^2] dx = ∫_[0,1] 2√2πx dx
　 = √2 π,
而不是 ∫_[0,1] 2πy dx = ∫_[0,1] 2πx dx = π.
考慮到斜度, 可以發現 y=kx, 0<x<1 繞 x 軸旋轉, 構成高 1,
底半徑 k 的圓錐體, 其側表面積隨著 k 而不同.
至於本題之側表面積, 用
　 x=(cos t)^3, y=(sin t)^3, 0≦t≦π/2
描繪 x^{2/3}+y^{2/3} = 1 在第一象限部分,然後繞 x 軸,
其側表面積為
∫_[0,π/2] 2πy√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] dt
　= ∫2π(sin t)^3√[(-3cos^2(t)sin(t))^2+(3sin^2(t)cos(t))^2] dt
　= ∫2πsin^3(t)√[9sin^2(t)cos^2(t)(cos^2(t)+sin^2(t))] dt
　= ∫_[0,π/2] 6πsin^4(t)cos(t) dt
　= (6/5)π
3.
∫_[0,π] f(sin(x)) dx
　 = ∫_[0,π/2] f(sin(x)) dx + ∫_[π/2,π] f(sin(x)) dx
　 = ∫_[0,π/2] f(sin(x)) dx + ∫_[0,π/2] f(sin(π-y)) dy
　 = ∫_[0,π/2] f(sin(x)) dx + ∫_[0,π/2] f(sin(y)) dy
　 = 2∫_[0,π/2] f(sin(x)) dx





2013-06-16 23:54:18 補充：
第2題舉例的圓錐體, 底半徑 k, 周長 2πk; 而斜邊長 √(1+k^2).
將圓錐體展開成扇形, 半徑 √(1+k^2), 弧長 2kπ.
半徑√(1+k^2) 之全圓周長 2π√(1+k^2).
故扇形佔全圓比例為 (2kπ)/[2π√(1+k^2)] = k/√(1+k^2).
故扇形面積 = π[√(1+k^2)]^2．k/√(1+k^2) = πk√(1+k^2).

由旋轉體側表面積公式: ∫_[0,1] 2π(kx)√(1+k^2) dx = πk√(1+k^2),
與前面扇形算法得到的相同.

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