數學題目，求橢圓長軸+短軸最小值??

提供二種解題方式給您，不過有點遺憾都是微積分解法
(1)
如同意見大大，從橢圓方程式置換 b
b=a/√(a^2-27), a+b=a+[a/√(a^2-27)]=f(a)
極值發生時 df(a)/da=0
db/da
=(d/da) a/√(a^2-27)
=-27/√(a^2-27)^3
df(a)/da=1-[27/√(a^2-27)^3]=0
√(a^2-27)^3=27 → a^2=36 → a=6
因此代入得 b=2, a+b=8
(2)
利用隱微分來改善 (1) 複雜的計算
(27/a^2)+(1/b^2)=1 → -2(27/a^3)da-2(1/b^3)db=0
db/da=-27b^3/a^3 代入 (1) 中 df(a)/da
1-(27b^3/a^3)=0 → a^3=27b^3 → a=3b
代入橢圓方程式，得 4/b^2=1 → b=2
依然可得 a=3b=6, a+b=6+2=8
希望以上對您有幫助!

2013-06-17 10:49:01 補充：
抱歉，忘記說明算幾不等式

它對非負實數有用，其他如意見大大所述

這題 (27/a^2)+(1/b^2), a+b 都是加法，所以算幾不等式幫助不大

(a+b)/2>=√(ab)

[(27/a^2)+(1/b^2)]/2=1/2>=√[(27/a^2)(1/b^2)=3√3/ab

似乎相乘能消去 ab, 但兩式的等於發生處不一樣

因此無法結合計算出所要結果

2013-06-17 11:08:10 補充：
在下考慮過柯西，不過也沒湊出來，頂多能算 a^2+b^2>=28

也想過 3√3/a=cos(θ), 1/b=sin(θ)

a+b
=[3√3/cos(θ)]+[1/sin(θ)]
=[cos(θ)+3√3 sin(θ)]/cos(θ)sin(θ)
=4√7 sin(θ+φ)/sin(2θ), 其中 sin(φ)=1/2√7

當然極值發生在 θ=π/6 → a=6, b=2

不知高中是否有能力處理此種三角關係，寫出提供參考

d(x^n)/dx = nx^(n-1)

這個已經可以算在高中數甲範圍了

2013-06-17 09:20:32 補充：
>還有算幾不等式的使用條件是什麼?何時不能用算幾不等式?
================================
算幾不等式的應用範圍很窄

就是相乘變加減, 或加減變相乘後,

未知數剛好可以消掉

或是不能消去的未知數算式剛好知道其值

教授對象為高中
但大學微積分解法也歡迎大大分享

請問版大，您是高中程度或是接受大學微積分程度的解法？

b=a/√(a^2-27)
a+b=a + a/√(a^2-27)
微分：當 a^2=36 有最小
a+b=6+2=8