問幾題數學題

1. ∫ln(x+2) dx=___?
Sol
先求
∫lnxdx
Set u=lnx，dv=dx
du=dx/x，v=x
∫lnxdx
=xlnx－∫dx
=xlnx－x+c
So
∫ln(x+2)dx
=∫ln(x+2)d(x+2)
=(x+2)ln(x+2)－x+c

2. 求2025!共有___個0?
題目改為求2025!最後共有___個0
Sol
2025=1*2*3*4*5*….*2025
=>5*10*15*…….*2025
=>1*2*3*4*5*……..*405 提出405個5
=>5*10*15*20…….*405
=>1*2*3*……..*81 提出81個5
=>5*10*….*80
=>1*2*3*…*16 提出16個5
=>5*10*15
405+81+16+3=505個5

3.假設砲彈是以f(x)=x^2－2x+1的拋物線移動則求最高點?
Sol
x^2－2x+1
=(x－1)^2>=0
最高點不存在
4.f(x)=x^3－x^2 求x在[－1，3]區間f(x)最大值?
Sol
f(x)=x^3－x^2
f’(x)=3x^2－2x
f”(x)=6x－2
when 3x^2－2x=0
x(3x－2)=0
x=0 or x=2/3
(1) x=0
6*0-2=－2<0 =>相對極大
(2) x=2/3
6*(2/3)－2=2>0=>相對極小
[－1，3] 包含 0，2/3
f(－1)=(－1)－1=－2
f(0)=0－0=0
f(2/3)=(8/27)－(4/9)=－4/27
f(3)=27－90=18
區間f(x)最大值=18

5.若i=√-1 求i+i^2+i^3+...+i^95+i^96=___?
Sol
i+i^2+i^3+...+i^95+i^96
=( i+i^2+i^3+i^4)+(i^5+i^6+i^7+ i^8)+…(i^93+i^94+i^95+i^96)
=0*24
=0

6. Σ(n=1 to ∞)_[1/(n^2+3n)]
=lim(x-∞)_ Σ(n=1 to x)_[1/(n^2+3n)]
=(1/3)lim(x-∞)_ Σ(n=1 to x)_[3/(n^2+3n)]
=(1/3)lim(x-∞)_ Σ(n=1 to x)_[(n+3－n)/(n^2+3n)]
=(1/3)lim(x-∞)_｛ Σ(n=1 to x)_1/n－Σ(n=1 to x)_1/(n+3)]｝
=(1/3)lim(x-∞)_｛ (1/1+1/2+1/3+…+1/x)－[1/4+1/5+1/6+…
+1/(x+1)+1/(x+2)+1/(x+3)]｝
=(1/3)lim(x-∞)_[(1/1+1/2+1/3－1/(x+1)－1/(x+2)－1/(x+3)]
=(1/3)*(1/1+1/2+1/3)
=11/18

7.若SinA+CosA=4/5求CosA=___?
Sol
SinA+CosA=4/5
SinA=4/5－CosA
5SinA=4－5CosA
25Sin^2 A=25Cos^2 A－40CosA+16
25－25Cos^2 A=25Cos^2 A－40CosA+16
50Cos^2 A－40CosA-9=0
CosA=[40+/-√(1600+4*50*9)]/100=(4+/-√34)/10

1.
∫ ln(x+2) dx =∫ ln(x+2) d(x +2)=∫ ln(x+2) d(x +2)
= ln(x+2) * (x +2) - ∫ (x+2) d ln(x+2)
= ln(x+2) * (x +2) - ∫ (x+2) *1/(x+2) dx
= ln(x+2) * (x +2) - ∫ dx
= ln(x+2) * (x +2) - x + c

2013-06-09 10:29:36 補充：
2.

求2025!共有___個零?

2025/5=405
405/5=81
[81/5]=16
[16/5]=3

405+81+15+3=504

2013-06-09 10:32:57 補充：
3. 最高點？
開口向上 最高點可以 打到 宇宙的最遠處

2013-06-09 10:38:54 補充：
4.
f(x)=x^3-x^2 求x在[-1,3]區間,f(x)最大值?
f'(x)=3x^2-x=0 , x=0 , 1/3 (極值在 x=0 , x=1/3)
此兩點 在所求的閉區間內
f(-1)=-2
f(0)=0
f(1/3)=1/27-1/9=-2/27
f(3)=27-9=18
因此此區間
最大值 = 18
最小值 = -2

2013-06-09 10:45:09 補充：
5.若i=√-1 求i+i^2+i^3+...+i^95+i^96=___?

i=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1

(i+i^2+i^3+i^4)=0

i+i^2+i^3+...+i^95+i^96
=(i+i^2+i^3+i^4)+i^4*(i+i^2+i^3+i^4)+.......+i^92*(i+i^2+i^3+i^4)
=0+0+...+0=0

2013-06-09 10:49:49 補充：
6.
∞ 1
Σ ------------- = ____?
n=1 n^2+3n

=(1/3) Σ(n=1,∞) [1/n - 1/(n+3)]
=(1/3) [1/1 - 1/4 +1/2-1/5 +1/3 - 1/6 + 1/4 -1/7+......]
=(1/3) [(1/1+1/2+1/3+1/4......)-(1/4+1/5+1/6+1/7+......)]
=(1/3) [1+1/2+1/3]
=11/18

2013-06-09 10:56:22 補充：
7.
若sinA+cosA=4/5 求cosA=___?
2sinAcosA=(sinA+cosA)^2-[(sinA)^2+(cosA)^2]=16/25-1=-9/25
(sinA-cosA)^2=(sinA+cosA)^2 - 4sinA cosA =16/25-2*(-9/25)=34/25

sinA-cosA=±(√34)/5
sinA+cosA=4/5

下式 – 上式
cosA=(4±√34)/10