高一數學 0<a/b<∞

a>0, b>0 所以 a/b>0.

對任意 r>0,
設 r=1, 取 0 與 1 之間的數 x, 令 a=b=x, 則 a/b = 1.
設 r<1, 取 b 介於 0 與 1 之間, 則 0<br<1. 取 a=br, 則 a/b = r.
設 r>1, 取 a 介於 0 與 1 之間, 則 0<a/r<1. 取 b = a/r, 則 a/b = r.

因此, 對任意 r>0 均存在 a, b 符何 0<a<1, 0<b<1, 且 a/b = r.

所以, 0<a<1, 0<b<1 則 0<a/b<∞.


2013-06-02 20:43:37 補充：
[附言] 事實上第一列已說明(證明)了:
0 < a < 1 且 0 < b < 1 則 0 < a/b < ∞
(當然更細緻的證明也是可以的, 那需要用到實數系的基本性質.)

不過, 更進一步, 需要證明 a/b 確實可以填滿 (0,∞) 這個正實數集.
第二列起就是在證明這樣的事.

2013-06-02 23:30:04 補充：
a, b 都是正實數, 所以 a/b 也是實數, 所以 a/b < ∞ 自然成立.

如果只就敘述表面所示, 其實只需證 a/b > 0. 這似乎極自然,
但真正 "證明" 則要看實數系如何定義, 有什麼性質可用. 基
礎的證明需要用到: x > 0 且 y > 0 則 xy > 0. 所以先要證明
1/b > 0, 然後得 a/b = a(1/b) > 0.

2013-06-02 23:38:10 補充：
要證明 1/b > 0,
(1) 顯然 1/b≠0, 因 b(1/b)=1≠0.
(2) 若 x > 0, y < 0, 則 -y > 0, 則 xy+x(-y) = 0.
但 x(-y) > 0, 故 xy < 0.
所以若 1/b < 0 將導致 1 = b(1/b) < 0, 矛盾.
由於 1/b 既不等於 0, 也不能小於 0, 所以根據三一律,
1/b > 0.

2013-06-02 23:39:13 補充：
"更細緻的證明" 參看 "意見".

怎麼還有這種題目?
小於無窮大需要證明嗎?