高中等差 等比級數問題

1.設一等比級數a1~a5的和=1，a1~a10的和=5，求此等比級數a1~a15的和=?
Sol
Sn=a1+a1r+a1r^2+…+a1r^(n－1)
Sn=a1*(r^n－1)/(r－1)
設 Sn=p(r^n－1)
S5=p(r^5－1)=1
S10=p(r^10－1)=5
(r^10－1)/(r^5－1)=5
r^10－1=5r^5－5
r^10－5r^5+4=0
r^5=1(不合) or r^5=4
S5=p*(4－1)=1
p=1/3
S15=(1/3)*(r^15－1)=(1/3)*63=21

2.有一規則的數列如下
1/1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1，1/5.........
則此數列的第100項=?
Sol
1/1 在第1項=>1=1
1/2 在第2項=>2=1+1=>1+(1)
1/3 在第4項=>4=2+2=>1+(1+2)
1/4 在第7項=>7=2+3=>1+(1+2+3)
1/5 在第11項=>11=7+4=>1+(1+2+3+4)
……..
1/n 在第x項=>
x=1+[1+2+3+4+…+(x－1)]
=1+(x－1)x/2
=(x^2－x+2)/2
(14^2－14+2)/2=92
1/14 在第92項
2/13 在第93項
3/12 在第94項
……
9/6在第100項
又17/20應為第幾項?
1/37在第y項
y=(37^2－37+2)/2=667
1/37 在第667項
36/1 在第666項
35/2 在第665項
34/3 在第664項
……..
17/20在第647項

1.
a+ar+---+ar^4=1
==>1+r+---+r^4=1/a

a+ar+---+ar^9=5
==>(a+ar+--+ar^4)+(ar^5+--+ar^9)=5
==>1+ar^5(1+r+r^2+r^3+r^4)=5
==>1+ar^5*(1/a)=5
==>r^5=4
==>r=2^(2/5)

a+ar+---+ar^14
=(a+ar+--+ar^9)+(ar^10+---+ar^14)
=5+ar^10(1+r+---+r^4)
=5+ar^10*(1/a)
=5+r^10
=5+(2^(2/5))^10
=5+16
=21