高中數學 矩陣

1. O為零矩陣

若A^2=O 則A=O (錯的)

A^3=O 則A=O
這題我想不出有什麼反例証明是錯的


如果 A≠O 可以使 A^2=O, 當然也可以使 A^n = O, 當 n 為大於 1 的整數.

因此, 只需構建一個非零方陣 A 使 A^2 = O 即可.

取 A = [ 0 1 ; 0 0] (我用來表示第一列是 [ 0 1 ] 第二列是 [ 0 0 ].)
則 A^2 = 0.

若取 A = [ 0 1 0 ; 0 0 1; 0 0 0 ], 則 A^2 = O, 雖然 A≠O 且 A^2≠O.




2. 下面我用[a1/a2/a3] 表示不同列的矩陣

設I=[1 0 0 / 0 1 0 / 0 0 1] A=[1 / 1 /1 ] * [ 1 2 3 ]

若 (I+1/6A)^6 =aI + bA 其中a.b 皆為實數 則a+b之值為何?

(23/2)

這題想不太到怎麼算..


A^2 = [1 ; 1 ;1 ] * [ 1 2 3 ]*[ 1 ; 1 ; 1 ]*[ 1 2 3 ]
= 6 [ 1 ; 1 ; 1 ]*[ 1 2 3 ] = 6A
A^3 = (A^2)A = (6A)A = 6A^2 = (6^2)A
一般, A^n = (6^{n-1})A.

[I+(1/6)A]^2 = I + (1/3)A + (1/36)A^2 = I + (1/2)A
[I+(1/6)A]^3 = [I+(1/2)A]*[I+(1/6)A] = I + (2/3)A + (1/12)A^2
= I + (7/6)A
[I+(1/6)A]^6 = [I+(7/6)A]^2 = I+(7/3)A+(49/36)A^2 = I+(21/2)A
即 a=1, b=21/2. 故 a+b = 23/2.

1.設A=[0 1/0 0]，A^2=[0 1/0 0] [0 1/0 0]=O，所以A不一定是O

2.A=[1/1/1] [1 2 3]=[1 2 3/1 2 3/1 2 3]
A^2=[1 2 3/1 2 3/1 2 3] [1 2 3/1 2 3/1 2 3]
=[6 12 18/6 12 18/6 12 18]=6A
所以A^2=6A，A^3=(6^2)A，...，A^n=[6^(n-1)]A

[I+(A/6)]^6
=I+C(6,1) A/6+C(6,2)(A/6)^2+C(6,3)(A/6)^3+C(6,4)(A/6)^4+C(6,5)(A/6)^5+C(6,6)(A/6)^6
=I+A+15(6A/6^2)+20(6^2 A/6^3)+15(6^3 A/6^4)+6(6^4 A/6^5)+(6^5 A/6^6)
=I+A+15A/6+20A/6+15A/6+6A/6+A/6
=I+A+57A/6
=I+63A/6
=I+21A/2
=aI+bA

所以a=1，b=21/2，a+b=23/2