矩陣列運算求反方陣原理 ?

要了解這個求反方陣的方法，必須先了解以矩陣的列運算解二元一次聯立方程式的方法，舉例來說：

解二元一次聯立方程式
ax+by=c
dx+ey=f
寫成增廣矩陣
[a b│c]
[d e│f]

若能經過列運算而推到以下這個矩陣
[1 0│m]
[0 1│n]
則解出 x=m，y=n

利用這個原理，我們可以用矩陣的列運算來求反方陣。

假設B是A的反方陣，則AB=I，且令A,B分別如下：(寫成AB=I 的形式)
[a b][x1 x2] = [1 0]
[c d][y1 y2]....[0 1]

若能求出x1,y1,x2,y2的值，即能寫出反方陣B

將以上矩陣乘開得兩組聯立方程式
ax1+by1=1.............ax2+by2=0
cx1+dy1=0.............cx2+dy2=1

用增廣矩陣的列運算來解這兩個聯立方程式
[a b│1]....................[a b│0]
[c d│0]....................[c d│1]

由於左半部相同，可和併成一個
[a b│1 0]
[c d│0 1]

依據最開始所說的原理，若能經由列運算推得
[1 0│m1 m2]
[0 1│n1...n2]

則可得方程組的解 x1=m1, y1=n1, x2=m2, y2=n2，即
[x1 x2] = [m1 m2]
[y1 y2]....[n1...n2]

所以最後合起來看就變成
[a b│1 0] ====>[1 0│x1 x2]
[c d│0 1] ====>[0 1│y1 y2]

即是[A│I]====>[I│B]，則B是A的反方陣！

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

矩陣做基本列運算相當於左乘一個列基本矩陣.

因此, 做一連串基本列運算相當於一連串左乘對應的基本矩陣,
或相當於左乘一個可逆矩陣:
E_n ...E_2 E_1 [ A I ] = P[A I] = [PA PI]
因此, 當 A 可逆而 PA=I 時, P=inv(A), 而
P[A I] = [I P] = [I inv(A)].