多維度的積分(高微)

做下列變換:
x = r cos(t)
y = r sin(t)cos(u)
z = r sin(t)sin(u)cos(v)
w = r sin(t)sin(u)sin(v)
0≦r≦1, 0≦t≦π, 0≦u≦π, 0≦v≦2π

Jacobian = r^3 sin^2(t) sin(u)

故
∫∫∫∫_{x^2+y^2+z^2+w^2≦1} dxdydzdw
= ∫_[0,1]∫_[0,π]∫_[0,π]∫_[0,2π] |r^3 sin^2(t)sin(u)| dvdudtdr
= ∫_[0,1] r^3 dr ∫_[0,π] sin^2(t) dt ∫_[0,π] |sin(u)| du ∫_[0,2π] dv
= (1/4)(π/2)(2)(2π) = π^2/2

也可以先計算 x,y,z,w 均非負的部分(t,u,v 範圍 [0,π/2]),
再把結果乘以 16.


或者,
∫∫∫∫_{x^2+y^2+z^2+w^2≦1} dxdydzdw
= ∫∫_{x^2+y^2≦1}∫∫_{z^2+w^2≦1-x^2-y^2} dwdz dydx
= ∫∫_{x^2+y^2≦1} π(1-x^2-y^2) dydx
再用極座標變換
= ∫_[0,1]∫_[0,2π] π(1-r^2) r dθdr
= 2π^2 ∫_[0,1] r(1-r^2) dr
= π^2/2




2013-05-29 21:09:17 補充：
為何會如此令參數?

常用的:
極座標: x = r cos(θ) , y = r sin(θ)
球座標: z = ρ cos(φ), x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ)

Generalized to 4-dimensional: 如 "回答".

2013-05-29 21:09:40 補充：
Generalized to n-dimensional:
x_1 = r cos(t_1)
x_2 = r sin(t_1) cos(t_2)
x_3 = r sin(t_1) sin(t_2) cos(t_3)
:
:
x_n = r sin(t_1) sin(t_2) .... sin(t_{n-1})

2013-05-29 21:12:19 補充：
"回答" 中之第2種方法就是避免高維度球座標變換.

∫∫_{z^2+w^2≦1-x^2-y^2} dwdz 等於計算半徑 √(1-x^2-y^2) 的圓面積.

而後對 x,y 做極座標變換.

2013-05-31 20:46:38 補充：
當然可以啊!

就像球體的積分:
{(x,y,z):x^2+y^2+z^2 < r^2} (因 "≦" 會變代碼, 以 < 代表)
可以表示(分解)成
{(x,y,z}: |z| < r, x^2+y^2 < r^2-z^2}
先對 x,y 積分, 再對 z 積分.

感謝大大的兩種解法~!
我感覺第二種方法比較方便，不過我想知道在第二種方法，
真的可以把積分寫成這樣的形式嗎?
∫∫∫∫_{x^2+y^2+z^2+w^2≦1} dxdydzdw
= ∫∫_{x^2+y^2≦1}∫∫_{z^2+w^2≦1-x^2-y^2} dwdz dydx
= ∫∫_{x^2+y^2≦1} π(1-x^2-y^2) dydx