泰勒展開式之推導

一般課本上用均值定理證明，我試著用更淺顯的方法證明給你看：

設f(x)為x的n次多項式,a為實數,且f(x)在x=a處各階導數都存在,則f(x)可表為在x=a的展開式,稱為泰勒展開式。
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f(n階導數)(a)(x-a)^n/n!

〈pf〉
先將f(x)表為(x-a)的多項式
令f(x)=A0+A1(x-a)+A2(x-a)^2+A3(x-a)^3+...+An(x-a)^n
f'(x)=A1+2*A2(x-a)+3*A3(x-a)^2+...+n*An(x-a)^(n-1)
f''(x)=2*1*A2+3*2*A3(x-a)+...+n(n-1)*An(x-a)^(n-2)
f'''(x)=3*2*1A3+...+n(n-1)(n-2)*An(x-a)^(n-3)
.
.
.
f(n階導數)(x)=n!An
於以上各式中，以x=a分別代入得
f(a)=A0
f'(a)=A1=1!*A1
f''(a)=2*1*A2=2!*A2
f'''(a)=3*2*1*A3=3!*A3
.
.
.
f(n階導數)(a)=n!*An
所以
A0=f(a)
A1=f'(a)/1!
A2=f''(a)/2!
A3=f'''(a)/3!
.
.
.
An=f(n階導數)(a)/n!

代回原式 f(x)=A0+A1(x-a)+A2(x-a)^2+A3(x-a)^3+...+An(x-a)^n
得
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f(n階導數)(a)(x-a)^n/n!
故得證

[泰勒展開式之推導]

首先, 基本微分關係式 (一階近似):

f(x) ≒ f(a) + f'(a)(x-a)


考慮

[f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)]/(x-a)^2 (用 l'Hospital's rule) ～ (f'(x)-f'(a))/[2(x-a)]

當 x→a 時右式趨近 f"(a)/2.


故 f(x) ≒ f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2


再來:
[f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f"(a)(x-a)^2/2]/(x-a)^3
　 ～ [f'(x)-f'(a)-f"(a)(x-a)]/[3(x-a)^2]

當 x→a 時, 右式 → f"'(a)/(3．2) = f"'(a)/3!


故 f(x) ≒ f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2+f"'(a)(x-a)^3/3!


設

f(x) ≒ f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2!+...+f^(k)(a)(x-a)^k/k!
　　　 = P_k(x)

意即 (f(x)-P_{k-1}(x))/(x-a)^k → f^(k)(a)/k! 當 x→a


再考慮

(f(x)-P_k(x))/(x-a)^{k+1}
　　 ～ (f'(x)-P'_k(x))/[(k+1)(x-a)^k] ... (*)

注意 P'_k(x) = f'(a)+f"(a)(x-a)+...+f^k(a)(x-a)^(k-1)/(k-1)!

故 (f'(x)-P'_k(x))/(x-a)^k → (f')^(k)(a)/k! 當 x→a


即 (代回 (*), 注意 : (f')^(k)(a) = f^(k+1)(a).)

(f(x)-P_k(x))/(x-a)^{k+1} → f^(k+1)(a)/(k+1)!


故

f(x) ≒ P_k(x) + f^(k+1)(a)(x-a)^{k+1}/(k+1)!
　 　 = P_{k+1}(x)


所以, 若 f(x) 在 a 有 n 階導數 (在 a 及其鄰近有 n-1 階導數),
則

f(x) ≒ P_n(x)
　　 = f(a)+f'(a)(x-a)+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!



[泰勒展開式之證明](Lagrange remainder 之推導)


由 Cauchy MVT (Mean Value Theorem), 因 f(a)=P_n(a),
存在 x_1 介於 a 與 x 之間, 使

(f(x)-P_n(x))/(x-a)^{n+1}
　　 = (f'(x_1)-P_n(x_1))/[(n+1)(x_1-a)^n]


同理, 因 f'(a)=P'_n(a), 存在 x_2 介於 x_1 與 a 之間,

(f'(x_1)-P_n(x_1))/[(n+1)(x_1-a)^n]
　　 = (f"(x_2)-P_n(x_2))/[(n+1)n(x_2-a)^{n-1}]


以此類推, 若 f(x) 在 a 與 x 之間的 n+1 階導數都存在, 則最後
可找到 x* 介於 x 與 a 之間, 使

(f(x)-P_n(x))/(x-a)^{n+1} = f^(n+1)(x*)/(n+1)! (注意 P_n^(n+1)(x)≡0)


因此, f(x) = P_n(x) + f^(n+1)(x*)(x-a)^{n+1}/(n+1)!

即, n 階 remainder 為

R_n(x) = f(x)-P_n(x) = f^(n+1)(x*)(x-a)^{n+1}/(n+1)!

上列第一個等號是 n 階 remainder 的定義, 第二個等號後的式子稱
Lagrange remainder.



PS. 泰勒展開式的 remainder 還有另一種形式, 是以積分表 示的, 請
參考 Calculus 或 Advanced Calculus 教本.