多項式因式分解

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)－180 當因式分解(x^2+8x+a)(x^2+8x+b) 求a+b=?
Sol
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)－180
=(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)－180
=(x^2+8x+7)(x^2+8x+16)－180
Set p=x^2+8x
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)－180
=(p+7)(p+15)－180
=p^2+22p－75
=(p－3)(p+25)
=(x^2+8x－3)(x^2+8x+25)
a+b=－3+25=25－3=22
or
f(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)－180=(x^2+8x+a)(x^2+8x+b)
f(0)=1*3*5*7－180=a*b
ab=－75
f(1)=2*4*6*8－180=(9+a)(9+b)
384－180=81+9b+9a+ab
204=81+9a+9b－75
9(a+b)=198
a+b=22

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-180
=(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)-180
=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)-180
=(x^2+8x)^2+22(x^2+8x)+7*15-180
=(x^2+8x)^2+22(x^2+8x)-75
=(x^2+8x+25)(x^2+8x-3)
∴ a+b=25-3=22

(X^2+8X+7)(X^2+8X+15)-180 這邊直接乘開其實是比較麻煩的。

Let A = x^2 + 8x

-> (A + 7)(A + 15) - 180
-> A^2 + 22A - 75 (由這裡比較係數得a + b = 22即可)

或者算到完
-> (A + 25)(A - 3) (得到a = 25，b = -3)

感謝提醒,我沒注到常數

您好：
a+b=22沒錯
但是a不是7；b也不是15
a、b正確算法如下
(X+1)(X+3)(X+5)(X+7)-180=[(X+1)(X+7)][(X+3)(X+5)]-180=(X^2+8X+7)(X^2+8X+15)-180=X^4+16X^3+86X^2+176X+105-180= X^4+16X^3+86X^2+176X-75=(X^2+8X+a)(X^2+8X+a)= X^4+16X^3+(a+b+64)X^2+8(a+b)X+ab由上式8(a+b)=176∴a+b=22可以更細算，b=(22-a)帶入上式ab=-75a(22-a)=-7522a-a^2=-75a^2 -22a -75=0(a+3)(a-25)=0a=-3或是a=25a=-3時b=25　或是　a=25時b=-3∴a+b=22