✔ 最佳答案
首先, 關於 "無窮除以無窮", 只有在考慮極限問題才有意.實數系沒有 "無窮" 這個數. 在某些領域, 例如機率論中, 把
+∞, -∞ 加入, 並規定一些運算, 構成 "延伸實數系", 但其
中仍無 (±∞)/(±∞), ∞-∞, (±∞)．0 等運算.一般, 涉及 (±∞)/(±∞) 問題的, 是屬於極限問題:
設 x→a 時 f(x)→±∞, g(x)→±∞, 則 f(x)/g(x) 是否有極
限? 有極限的話極限是多少? 這只有給了 f(x), g(x) 才好說.
所以這類型的極限問題稱為 "不定式". 請參看任何一本微積分,
簡易微積分, 應用微積分教本.
其次, 看看所問的機率問題:
(配對問題. 常見之例題或練習題. 用 "取捨原理" 公式搞定.)二十人參加聖誕派對，每人都帶一個禮物，然後丟在一處，大家再去抽選禮物。請問，這二十人中，至少一人抽到自己禮物的機率多少。[解]
令 Ai 表示第 i 個人抽到自己的禮物.
P(∪Ai) = ΣP(Ai) - ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ...
此即 "取捨原理" 公式.
此處,
P(Ai) = P(A1) = 1/20,
P(Ai∩Aj) = P(A1∩A2) = (1/20)(1/19),
以此類推.故 P(∪Ai) = C(20,1)(1/20) - C(20,2)(1/20)(1/19) + ...
= 1/1! - 1/2! + 1/3! - ... -1/20!一般, 禮物問題: n 個人, n 個禮物; 信封問題: n 封信,
n 個信封; 帽子問題: n 個人, n 頂帽子 ... 許多不同形式,
實質相同的配對問題, 其答案都是 P(∪Ai) = 1/1!-1/2!+1/3!-....+(-1)^{n-1}(1/n!)當 n→∞ 時, 此機率 → 1-e^{-1} ≒ 0.63212n=20 時, 1/1! - 1/2! + 1/3! - ... -1/20! ≒ 0.63212.事實上,
|[1/1!-1/2!+1/3!-....+(-1)^{n-1}(1/n!)]-(1-1/e)|
< 1/(n+1)!
1-(19/20)^20 這數字不是這問題的機率. 如果每個人去抽獎,
不管抽中哪個獎都再放回去, 下一個人仍然從全部20件禮品中
去抽, 因此有可能多個人抽中同一件禮物, 而有的禮物沒有人
抽中, 這樣至少一個人抽中自己的禮物的機率才是
1-(19/20)^20 = 1 - (1-1/20)^20 ≒ 0.64151.
當 n→∞ 時, 1-(1-1/n)^n 也是趨近 1-e^{-1} ≒ 0.63212
n1-(1-1/n)^n1/1!-1/2!+1/3!-…11.000000 1.000000 20.750000 0.500000 30.703704 0.666667 40.683594 0.625000 50.672320 0.633333 60.665102 0.631944 70.660083 0.632143 80.656391 0.632118 90.653561 0.632121 100.651322 0.632121 110.649506 0.632121 120.648004 0.632121 130.646742 0.632121 140.645665 0.632121 150.644736 0.632121 160.643926 0.632121 170.643214 0.632121 180.642583 0.632121 190.642020 0.632121 200.641514 0.632121
2013-05-25 02:26:22 補充：
"ΣP(Ai∩Aj)" 其中是限制 i≠j 的, 底下的 "P(Ai∩Aj) = P(A1∩A2)" 也是 i≠j,
否則顯然不通的. 類似地, ΣP(Ai∩Aj∩Ak) 也是 i,j,k 兩兩不等.
P(Ai∩Aj) = P(A1∩A2), 這是因特定兩人, 例如 甲、乙, 都拿到自己的, 其
機率與例如 丙、丁 都拿到自己的, 並無不同, 都是 (1/20)(1/19). 類似地,
P(Ai∩Aj∩Ak) = P(A1∩A2∩A3) = (1/20)(1/19)(1/18).
2013-05-25 02:33:22 補充：
"回答" 無法加字了!
e^x = 1+x/1!+x^2/2!+...+x^n/n!+...
故 e^{-1} = 1-1/1!+1/2!-+...+(-1)^n/n!+...
(1+x/n)^n → e^x 當 n→∞, (1-1/n)^n → e^{-1}
2013-05-25 02:45:48 補充：
P(Ai) = P(A1) = 1/20 特定人拿到自己的, 機率是 20件中取得
正確那件的機率, 是 1/20.
P(A1∩A2) = (1/20)(1/19) = 1/P(20,2) 特定兩人都拿到自己的,
等於從總共 P(20,2) = (20)(19) 這許多排列中取得正確那個排
列的機率. 或者先特定某甲拿到自己的, 特定某乙再從剩下19
件中拿到自己的. 所以是 (1/20)(1/19).
P(A1∩A2∩A3) = (1/20)(1/19)(1/18).
2013-05-25 02:52:47 補充：
"取捨原理" P(∪Ai) = ΣP(Ai) - ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ...
是一個定理, 從基本的 P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) 開始, 經繁
複的 "數學歸納" 程序可證明. 或者, 利用集合(事件)的 indicator
function 可以把集合的聯集交集變成數的四則運算, 避免做繁複
的數學歸納證明.
2013-05-25 02:56:25 補充：
此題所問機率不是 1-(19/20)^20 = 1-(1-1/20)^20, 因抽獎絕不可能是
每個人去抽獎, 不管抽中哪個獎都再放回去, 下一個人仍然
從全部20件禮品中去抽.
因為如果這麼抽，
有可能多個人抽中同一件禮物, 而有的禮物沒有人抽中.
2013-05-25 03:03:08 補充：
關於 "樂透" 的問題, 現在怎麼玩我沒去關心, 但台灣最早
開辦樂透時我曾寫過一些東西. 有興趣可參考一下:
telnet://bbs.ncku.edu.tw 找 "Statistics" 版, 按 "z" 進精華
區, 依序進入目錄:
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