一題很難的數學

原先我也以為題目有問題,
後來想到極坐標有個特性和直角坐標不同,
就是同一點的極坐標有不同的表示法,
提示一下, r 可以是負值,
先看有沒有其他網友回答,
沒有的話,我明天有空再答.

2013-05-21 22:13:59 補充：
匿名兄,感謝您不嫌棄,
不過我想這邊有很多大師,知識長都比我還熱心,
小弟不過偶爾才出個聲發表一下意見,實在不敢當讓您如此誇讚,
我先把做法整理一下,等一下如果還是沒人回答,那我就貼出我的做法.

另外,匿名兄是住香港嗎?
您讓我想起我大學室友,他們兩位都是香港僑生,
不曉得他們現在近況如何.

2013-05-21 23:27:51 補充：
正如我在意見欄所說,極坐標有個特性和直角坐標不同,
就是同一點會有不同的極坐標表示法,
首先,如果 r = 0, 那不管 θ 為多少,都代表原點,這點應該比較簡單,
另外, r 可以是負的,負值代表方向相反,
所以 ( -2 , 120度 ) 和 ( 2 , 300度) 代表同一點,
這一點可能就比較容易忽略,

現在進入主題,
先檢查有沒有通過原點,也就是 r = 0 時, θ 有沒有解,
這個比較簡單,過程我就省略了,結果是兩曲線都有通過原點,

然後要找其他交點時,一般直接想法就是如露大一樣聯立解,
結果發現無解,但是還有其他可能,這就是極坐標題目容易忽略的盲點,
假設曲線一上的點為 ( r1, θ1 ),曲線二上的點為 ( r2 , θ2 )
如果這兩點代表同一點,也就是兩曲線的交點,
一種可能是 r1 = r2 , θ1 = θ2, 這就是前面講的直接聯立解,結果無解,
另一種可能是 r2 = - r1 , θ2 = θ1 +180度,
代入原方程式得
r1^2=2cosθ1
r2=2+2cosθ2 ==> - r1=2+2cos(θ1+180度)
由第一式得 cosθ1 = r1^2 / 2 代入第二式得
- r1 = 2 - r1^2
解得 r1 = -1, 2 代回得 r1 = 2 不合,
r1= -1 時, cosθ1 = 1/2 ==> θ1 = 60度,300度,
所以另兩個交點為 ( -1,60度 ), ( -1,300度 )
這兩點在曲線二的坐標則是 ( 1, 240度 ),( 1, 120度 )

加油！進哥，你是我最尊敬的其中一個專家，快點解說啦，丙走兩個001吧。一個在改題目，一個話無解。

2013-05-22 09:04:46 補充：
精彩！
我不是你說的那個。

如果把r=2+2cosθ代入第一式
(2+2cosθ)^2=2cosθ
=>2cos^2 θ +3cosθ + 2=0
判別式
D=3^2-4*2*2<0
cosθ無解啊