高中數學 平面向量

A(2，3)，B(－2，5)，C(4，－3) 若△PAC=△PBC=△PCA，則P之坐標為何
Sol
(1) A，B中點 (0，4)
2*0－4=－4
2*4+3=11
P(－4，11)
(2) A，C中點 (3，0)
2*3+2=8
2*0－5=－5
P(8，－5)
(3) B，C中點 (1，1)
2*1－2=0
2*1－3=－1
P(0，－1)
(4) 重心
A，B中點 (0，4)，C(4，－3)
4－(2/3)*(4－0)=4/3
－3－(2/3)((－3－4)=－3＋14/3=5/3
P(3/4，5/3)

我只會簡單的畫圖 不過不提一下這題跟重心有關嗎?

2013-05-20 00:15:28 補充：
我被刪兩次了XD

在意見貼網址也不被允許 管你貼什麼 再貼下去就要停權了

不嫌麻煩的話請再慢慢貼一次吧

m
i
n
u
s
.
c
o
m
/
l
o
e
n
U
C
I
s
I
5
x
5
F

莫名其妙打數學式子也被違規刪題，好像有別人答此題也被刪，目前共2人被刪。就改在意見欄回答你

令P(x,y)
向量PA=(2-x,3-y)，向量PB=(-2-x,5-y)，向量PC=(4-x,-3-y)
│ 2-x 3-y│ = 行列式M = (2-x)(5-y)-(-2-x)(3-y) = -2x-4y+16
│-2-x 5-y│
行列式M絕對值=2△PAB
│ 2-x 3-y│ = 行列式N = (2-x)(-3-y)-(4-x)(3-y) = 6x+2y-18
│4-x -3-y│
行列式N絕對值=2△PAC

2013-05-20 00:03:13 補充：
│-2-x 5-y│ = 行列式T = (-2-x)(-3-y)-(4-x)(5-y) = 8x+6y-14
│4-x -3-y│
行列式T絕對值=2△PBC
因為△PAB=△PAC=△PBC
所以│M│=│N│=│T│

(a)
M=N 即 -2x-4y+16=6x+2y-18
N=T 即 6x+2y-18=8x+6y-14
整理
8x+6y-34=0
2x+4y+4=0......得(x,y)=(8,-5)

2013-05-20 00:03:46 補充：
(b)
M=-N 即 -2x-4y+16=-6x-2y+18
-N=T 即 -6x-2y+18=8x+6y-14
整理
4x-2y-2=0
14x+8y-32=0......得(x,y)=(4/3,5/3)
(c)
-M=N 即 2x+4y-16=6x+2y-18
N=T 即 6x+2y-18=8x+6y-14
整理
4x-2y-2=0
2x+4y+4=0......得(x,y)=(0,-1)

2013-05-20 00:04:01 補充：
(d)
M=N 即 -2x-4y+16=6x+2y-18
N=-T 即 6x+2y-18=-8x-6y+14
整理
8x+6y-34=0
14x+8y-32=0......得(x,y)=(-4,11)

2013-05-20 08:57:26 補充：
回版主的補充發問：

若純粹用向量的方法算，則這題不只是重心的問題，若只考慮重心，就只能找到(4/3,5/3)這個點，其實還有和A,B,C形成平行四邊形的三個點，也就是你列的第2到第4個式子
-pa+pb+pc=0
pa-pb+pc=0
pa+pc+-pc=0
這也都可以算啊，但不能用算重心的方法只是將三點座標加起來除以3，這樣上面三個式子就解不出來

2013-05-20 08:57:31 補充：
我只算第一個式子給你看，其餘的你依此類推即可
令P(x,y)
PA=(2-x,3-y), PB=(-2-x,5-y), PC=(4-x,-3-y)
代入 -PA+PB+PC=0
(x-2,y-3)+(-2-x,5-y)+(4-x,-3-y)=0
即(x-2-2-x+4-x,y-3+5-y-3-y)=0
即(-x,-1-y)=(0,0)
x=0,y= -1