非線性微分方程(生物系統)

考慮 dx/dt = 0 = dy/dt 時.
若 x≠0≠y 則在所指條件下將無正數解, 等於無解.
因此解僅存在於 x=0 or y=0.

2013-05-17 23:58:41 補充：
x: the population of bluegill
y: the population of redear

dx/dt = x(ε1-σ1*x-α1*y)
dy/dt = y(ε2-σ2*y-α2*x)

Equilibrium populations 大概指 t→∞ 時
x(t), y(t) 會趨近於一個極限狀態, 故
dx/dt→0 且 dy/dt→0, 也就是說

x(ε1-σ1*x-α1*y) = 0 = y(ε2-σ2*y-α2*x)

若 x≠0≠y, 則條件是 x,y 滿足下列線性方程式系統:
(ε1-σ1*x-α1*y) = 0 = (ε2-σ2*y-α2*x)



但若 (a) 或 (b) 所列條件滿足, 則上列系統之解
x, y 為一正一負. 但在此問題 x, y 均是非負的.
因此可知要達到在這兩種情況之下, 要 equilibrium
必須 x=0 或 y=0.

若 x=0, 則均衡條件還要求 y(ε2-σ2*y) = 0;
若 y=0, 均衡條件還要求 x(ε1-σ1*x) = 0.
因此, 在 (a) 或 (b) 之條件滿足時, 可能的均衡解
只發生於 (x,y) = (0,0), (0,ε2/σ2) 或 (ε1/σ1,0).

假設 (a) 之條件成立, 將成長方程式寫成:
(d/dt)ln(x) = σ1*[ε1/σ1-x-(α1/σ1)y]
(d/dt)ln(y) = α2*[ε2/α2-x-(σ2/α2)y]
若 t→∞ 時 y→0, 且 (d/dt)ln(x)→0, 但
(d/dt)ln(y)→α2*(ε2/α2-ε1/σ1)>0
這與 y→0 矛盾. 換言之, y 不可能趨於 0.
但如前論, 或者 x→0 或者 y→0. 既然 y→0 不成立,
則 x→0 而且 y→ε2/σ2.

(b) 條件成立時的情形類似, 只是變成 y→0 而
x→ε1/σ1, 就不細說了.


2013-05-19 16:55:12 補充：
在 (a) 的條件下, 若 t→∞ 時 x→0,
則 dx/dt =σ1*x(...)→0
且 dy/dt = α2*y[ε2/α2-x-(σ2/α2)y]→y(ε2-σ2*y)→0 if y→ε2/σ2

(d/dt)ln(x) = σ1*[ε1/σ1-x-(α1/σ1)y] → ε1-α1*(ε2/σ2) < 0
表示 ln(x) 是下降的, 也就是說 x 在衰減 (最後至於漂絕),
這與 x→0 是吻合的.

而假設 y→0 卻推出 (d/dt)ln(y) 趨近於一個正數, 表示 y
以一個正的定值為成長率在增長, 又怎會以 0 為極限?

2013-05-19 16:57:24 補充：
在 (a) 的條件下, 若 t→∞ 時 x→0,
則 dx/dt =σ1*x(...)→0
且 dy/dt = α2*y[ε2/α2-x-(σ2/α2)y]→y(ε2-σ2*y)→0 if y→ε2/σ2

(d/dt)ln(x) = σ1*[ε1/σ1-x-(α1/σ1)y] → ε1-α1*(ε2/σ2) < 0
表示 ln(x) 是下降的, 也就是說 x 在衰減 (最後至於滅絕),
這與 x→0 是吻合的.

而假設 y→0 卻推出 (d/dt)ln(y) 趨近於一個正數, 表示 y
以一個正的定值為成長率在增長, 又怎會以 0 為極限?

2013-05-19 23:02:23 補充：
(d/dt)ln(y) 趨近於一個正數, 表示 y (當 t 大時) 接近以一個
正的定值為成長率在增長, 這樣就不可能以 0 為極限.

2013-05-21 08:36:21 補充：
"且 dy/dt = α2*y[ε2/α2-x-(σ2/α2)y]→y(ε2-σ2*y)→0 if y→ε2/σ2"
嚴格說來是錯誤寫法, 因為 x, y 是同意隨著 t→∞ 而變的.
應寫
lim dy/dt = lim α2*y[ε2/α2-x-(σ2/α2)y]
　　　 = (lim y)[ε2- lim x- σ2 * lim y]
　　　 = (ε2/σ2)[ε2 - σ2 (ε2/σ2)] = 0

請問一下老怪物大大，ln(x)是如何出現的?
若 t→∞ 時 y→0, 且 (d/dt)ln(x)→0，這句不大懂~~

2013-05-18 09:50:11 補充：
喔，現在我懂了，不過我還有一點疑問，
這與 y→0 矛盾. 換言之, y 不可能趨於 0.
那如果x→0 而且 y→ε2/σ2.，我自己推得
(d/dt)ln(y)→0，但(d/dt)ln(x)→σ1*[ε1/σ1-(α1/σ1)(ε2/σ2)]<0
，這樣為什麼沒有矛盾?
是要(d/dt)ln(x)和(d/dt)ln(y)都趨近於0才不會矛盾?

2013-05-19 23:08:54 補充：
所以原來方程式經過對數的轉換
才看得出來，真有學問，謝謝大大
詳細的說明~!

2013-05-21 08:55:55 補充：
那dy/dt→0和dx/dt→0是代表什麼意思?
是不是不能說些甚麼?

非線性微分方程之處理方法有非常非常多，其中有二種最常用:
.(1)直接求出方程之解。在討論所要之性質，不過這種方法成功率不高，否則就不叫非線性方程；

2013-05-16 16:52:23 補充：
.(2)從dx/dt和dy/dt右邊的式子之+-，即x，y之漸增漸減(或其他性質)來直接討論想討論之問題本身，例如:
What will happen for large t?
這種方法相當細微，沒有甚麼式子和計算，通篇都是文字討論，很難講解，如果一定要了解的話，最好是自己找一本非線性微分方程的專書(例如:Differential Equations，Dynamical Systems, and Linear Algebra By Hirsch Smale)看吧。
What will happen for large t?
是這題比較有意思的地方，我想。