工程數學二階微分方程

輔助方程式: D^2+4=0 => D=+-2j齊次解: yh=a*sin(2x)+b*cos(2x)特別解: s=sin, c=cos使用反運算子法:yp=(1/4j)∫[1/(D-2j)-1/(D+2j)]*c2x*dx=(1/4j)[e^(2j)∫e^(-2j)c2x*dx-e^(-2j)∫e^(2j)c2x*dx]=(1/4j){e^(2j)∫(c2x-js2x)c2x*dx-e^(-2j)∫(c2x+js2x)c2x*dx}=(1/4j){e^(2j)∫[(c2x)^2-js2x*c2x]dx-e^(-2j)∫[(c2x)^2+js2x*c2x]dx}=(1/4j){e^(2j)∫[(1+c4x)/2-j(s4x)/2]dx-e^(-2j)∫[(1+c4x)/2+j(s4x)/2]dx=(1/8j){e^(2j)[x+(s4x)/4+j(c4x)/4]-e^(-2j)[x+(s4x)/4-j(c4x)/4]=(x/8j+s4x/32j)[e^(2jx)-e^(-2jx)]+(c4x/32j)*[e^(2jx)+e^(-2jx)]=(x/8j+s4x/32j)*2j*s2x+(c4x/32j)*2c2x=(x/4+s4x/16)*s2x+(c4x/16)*c2x=x*sin(2x)/4+(s2x*s4x+c4x*c2x)/16=x*sin(2x)/4+[cos(2x)]/16=> 與版主特別解稍有出入!!通解: y=yh+yp=[a*sin(2x)+b*cos(2x)]+[x*sin(2x)/4+[cos(2x)]/16]

感謝Sam的解說!!!

thank you very much!!!

感覺1/16 cos(2x)可以合併到 C₂ cos(2x)裡面

所以答案是y = C₁ sin(2x) + C₂ cos(2x) + x/4 sin(2x)

不知道可不可以合併進去??
[[ans]]
可以合併進去
C₁ sin(2x) + C₂ cos(2x) + x/4 sin(2x)+1/16 cos(2x
= C₁ sin(2x) +[ C₂+1/16] cos(2x) + x/4 sin(2x)
= C₁ sin(2x) + C3 cos(2x) + x/4 sin(2x)
因為C3是啞變數，寫成C2就行了。

2013-05-06 19:02:27 補充：
或
一開始你將自己的答案寫成C₂~:
C₁ sin(2x) + C₂~ cos(2x) + x/4 sin(2x)+1/16 cos(2x
= C₁ sin(2x) +[ C₂~+1/16] cos(2x) + x/4 sin(2x)
= C₁ sin(2x) + C2 cos(2x) + x/4 sin(2x)
就行了。

2013-05-06 19:11:44 補充：
一般的確會合併 C₂ cos(2x)+1/16 cos(2x)
因為在實際問題中(例如:電路系統)，不是要微方的解，而是要
用此微方的解來討論或推論一些此電路系統的功能，當然
C₂ cos(2x)要比 C₂ cos(2x)+1/16 cos(2x)方便(容易看出可能之結果，
計算量也比較少)。

齊次解：y'' + 4y = 0

λ^2 + 4 = 0

λ = 2i 或 -2i

因此通解為C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

設特解為y_p = Axcos(2x) + Bxsin(2x)

y_p' = Acos(2x) - 2Axsin(2x) + Bsin(2x) + 2Bxcos(2x)

y_p'' = -2Asin(2x) - 2Asin(2x) - 4Axcos(2x) + 2Bcos(2x) + 2Bcos(2x) - 4Bxsin(2x)

y_p'' = -4Asin(2x) - 4Axcos(2x) + 4Bcos(2x) - 4Bxsin(2x)

y_p'' + 4y_p = cos(2x)

-4Asin(2x) - 4Axcos(2x) + 4Bcos(2x) - 4Bxsin(2x) + 4Axcos(2x) + 4Bxsin(2x) = cos(2x)

-4Asin(2x) + 4Bcos(2x) = cos(2x)

A = 0 and B = 1/4

So, y_p = xsin(2x)/4


通解：C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + xsin(2x)/4

---你的特解有漏掉