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1.
設 a < b < c

長度分別為 a、b 和 c 的線段可形成三角形，而三角形中較短兩邊的長度和必大於第三邊的長度。
(a + b) > c
(a + b)² > c²
設 (a + b)² - c² = k > 0

長度為分別 a²、b² 和 c² 的線段可否構成三角形？
較短兩線段的長度和 = a² + b²
最長線段旳長度 = c²

(a² + b²) - c²
= (a² + 2ab + b²) - c² - 2ab
= [(a + b)² - c²] - 2ab
= k - 2ab

k > 0 及 2ab > 0
未知決定 k - 2ab 是否大於 0，故不能比較 (a² + b²) 與 c² 中何者較大。
因此，長度分別為 a²、b² 和 c² 的線段，不一定能構成三角形。

例一：當 a = 2、b = 3 及 c = 4
(2 + 3) > 4，所以長度分別為 a、b 和 c 的線段可構成三角形。
而 (2² + 3²)< 4²，所以長度分別為 a²、b² 和 c² 的線段不可構成三角形。

例二：當 a = 4、b = 5 及 c = 6
(4 + 5) > 6，所以長度分別為 a、b 和 c 的線段可構成三角形。
而 (4² + 5²)> 6²，所以長度分別為 a²、b² 和 c² 的線段亦可構成三角形。


2.
設 a < b < c

長度分別為 a、b 和 c 的線段可形成三角形，而三角形中較短兩邊的長度和必大於第三邊的長度。
(a + b) > c
設 (a + b) - c = h > 0

長度分別為 √a、√b 和 √c 的線段可否構成三角形？
較短兩線段的長度和 = √a + √b
最長線段旳長度 = √c

(√a + √b)² - (√c)²
= [a + 2√(ab) + b] - c
= [(a + b) - c] + 2√(ab)
= h + 2√(ab)

由於 h > 0 及 2√(ab) > 0
故此：(√a + √b)² - (√c)² = h + 2√(ab)> 0
(√a + √b)² > (√c)²
(√a + √b) > √c

因此，長度分別為 √a、√b 和 √c 的線段，能構成三角形。