高中微積分

這算是定義.

當然, 這個定義不是唯一的. 相反地, 它是對 "凹向上" 做的一種
較嚴格(較狹隘)的定義.

可能放寬 "凹向上" 定義之一:
把一階導數 "嚴格遞增" 改成 "單調遞增". 如此則直線段亦屬 "凹
向上".

以上都只限於 "可微分" 函數. 也可把 "凹向上" 的定義擴充到不
一定可微分, 如下:
若函數 f(x) 在區間 [a,b] 滿足下列條件, 則說 f 在 [a,b] 是凹向上.
(條件) 對 [a,b] 上任兩點 x<y, 對任意 t 介於 0-1 之間, 均有
f(tx+(1-t)y) ≦ t f(x) + (1-t) f(y)
若上列條件中之 "≦" 改為 "<", 則稱 f 在 [a,b] 是嚴格地凹向上.

請參考 wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

有關之部分節錄於下:
If is twice continuously differentiable and the domain is the real line, then we can characterize it as follows:
convex if and only if f``(x) > = 0 for all x

2013-04-22 00:25:59 補充：
若f是一個二次連續可微之函數(即 函數f 可以二次導微，且其二次導函數f``(x)為連續函數)，且其定義域實(數線)軸，則:
f 向上凹(凹向上) 若且為若 f``(x) > = 0 對所有 x (成立)。

2013-04-22 00:29:44 補充：
或請參考 中文wiki

http://zh.wikipedia.org/wiki/凸函數

不過資料不完全。