數學 多項式的餘式假設

1.你的解法：
你假設 f(x)=(x-3)(x-2+i)(x-2-i)Q(x)+a(x-3)(x-2+i)+3
這樣是有問題的，因為這樣餘式的x^2項係數只要給正確的a值即可，但正確的a值卻不一定能提供正確的x項的係數，但你假設的餘式卻強迫餘式乘開後的x項係數仍由a來決定，所以這假設求不出正確的餘式。

2.解答的解法：
令f(x)=(x^2-4x+5)q1(x)+ax+b
f(2-i)=a(2-i)+b=4+3i
2a+b=4, -ai=3i
得 a= -3, b=10
所以f(x)除以(x^2-4x+5)的餘式為 -3x+10
可設f(x)=(x-3)(x^2-4x+5)q2(x)+c(x^2-4x+5)+(-3x+10)
f(3)=2c-9+10=3 得c=1
所以餘式為(x^2-4x+5)+(-3x+10)=x^2-7x+15

3.另一種解法：
令f(x)=(x-3)(x^2-4x+5)q3(x)+a(x-2+i)(x-2-i)+b(x-2+i)+4+3i
即f(x)=(x-3)(x^2-4x+5)q3(x)+a(x^2-4x+5)+b(x-2+i)+4+3i
以上這樣設的原因是f(2-i)=4+3i
f(3)=a(9-12+5)+b(3-2+i)+4+3i=3
2a+b+bi+4+3i=3
2a+b+(b+3)i= -1
2a+b= -1, b+3=0, 解得a=1, b= -3
所以餘式為 (x^2-4x+5)-3(x-2+i)+4+3i=x^2-7x+15


2013-04-17 16:50:34 補充：
點數不多，以後用系統允許的最低點數問就好

有誠意的問，就會得到有誠意的解答！

2013-04-18 08:34:31 補充：
你認為：除式為3次式，所以餘式至多為2次式。
基本上，這樣的觀念是對的，但餘式卻不能隨意設。
你問說你的假設哪裡出了問題，我上面第一點已經回答了，你可能沒有完全了解，我再舉一個簡單的例子：
若餘式為一次式，我們假設為ax+b是可以的，因為指定適當的a，則x項的係數會對，而常數項不會因為a值而受限，因為可以自由地指定b使常數項正確。若真正的餘式為2x+5，我們指定a=2且b=5就會對。
若假設為a(x+1)+b也沒問題，因為常數項雖會受到a的影響，但後面有個b可做補償。指定a=2且b=3，這樣仍可以得到2x+5。

2013-04-18 08:35:37 補充：
但若設為a(x+1)或a(x+1)+5那就掛了，因為指定a=2使x項係數正確，卻影響到常數項不正確，且沒有機會補償成正確的。
你的假設犯的正是這樣的錯！
你設的餘式a(x-3)(x-2+i)+3中，a一指定下去，使x^2項係數正確後，連帶x項係數和常數項全都受限了。從答案x^2-7x+15可看出，你的餘式a應該是1，但a=1代入後，變成1(x-3)(x-2+i)+3=x^2+(i-5)x+(9-3i)，a=1使x^2項係數是對的，連帶強迫使x項係數固定為(i-5)，常數項為(9-3i)，毫無補償成正確的機會。所以餘式不可以隨便假設，我上面第一點講的就是這個道理。

2013-04-18 08:36:01 補充：
這就是為何一般二次餘式我們假設成ax^2+bx+c，就是a指定下去，b和c都能把後面的項補償為正確。
若設為a(x+1)^2+b(x+1)+c也行，因為a指定後，x^2項係數正確後，雖影響了x項和常數項，但b可以把x項係數補償為正確，此時因為a,b的指定，常數項仍不正確，但最後的c仍能補償為正確。

另一個原因就是如露亦如電大在意見欄所說的(x-2+i)不能單獨存在，所以假設時要很小心，除非像我上面第三點的另解那樣假設才可以。

有問題可以再問，多項式的觀念很重要。

2013-04-19 10:50:02 補充：
沒錯，你那樣假設是不合的。但原因不只一個。一個就是你最後說的理由，也就是意見欄如露亦如電大所說的理由。還有一個就是我上面一再舉例說明的理由。你那樣假設有雙重的錯誤存在。

除非像我上面的另一種解法那樣，後面還有虛數來補償才可以，不過那是比較難且技巧性的設法，你參考了解一下，對解題能力有幫助，但解法還是建議按照解答那種解法比較穩當易了解。

先看公式解x=-b±√(D)/2a=>虛根是共軛存在的
所以餘式不可以設a(x-3)(x-2+i)+3
(x-2+i)不可能單獨存在FOR實係數多項式的

設f(x)為實係數多項式且f(2－i)=4+3i 又f(3)=3 則f(x)除以(x－3)(x^2－4x+5)的餘式為?
Sol
w=2－i
w－2=－i
w^2－4w+4=－1
w^2－4w+5=0
f(x)=q(x)(x－3)(x^2－4x+5)+a(x^2－4x+5)+bx+c
f(2－i)=b(2－i)+c=2b+c－bi=4+3i
b=－3
－6+c=4
c=10
f(x)=q(x)(x－3)(x^2－4x+5)+a(x^2－4x+5)－3x+10
f(3)=a(9－12+5)－9+10=3
2a=2
a=1
餘式=x^2－4x+5－3x+10=x^2－7x+15