✔ 最佳答案
1.你的解法:
你假設 f(x)=(x-3)(x-2+i)(x-2-i)Q(x)+a(x-3)(x-2+i)+3
這樣是有問題的,因為這樣餘式的x^2項係數只要給正確的a值即可,但正確的a值卻不一定能提供正確的x項的係數,但你假設的餘式卻強迫餘式乘開後的x項係數仍由a來決定,所以這假設求不出正確的餘式。
2.解答的解法:
令f(x)=(x^2-4x+5)q1(x)+ax+b
f(2-i)=a(2-i)+b=4+3i
2a+b=4, -ai=3i
得 a= -3, b=10
所以f(x)除以(x^2-4x+5)的餘式為 -3x+10
可設f(x)=(x-3)(x^2-4x+5)q2(x)+c(x^2-4x+5)+(-3x+10)
f(3)=2c-9+10=3 得c=1
所以餘式為(x^2-4x+5)+(-3x+10)=x^2-7x+15
3.另一種解法:
令f(x)=(x-3)(x^2-4x+5)q3(x)+a(x-2+i)(x-2-i)+b(x-2+i)+4+3i
即f(x)=(x-3)(x^2-4x+5)q3(x)+a(x^2-4x+5)+b(x-2+i)+4+3i
以上這樣設的原因是f(2-i)=4+3i
f(3)=a(9-12+5)+b(3-2+i)+4+3i=3
2a+b+bi+4+3i=3
2a+b+(b+3)i= -1
2a+b= -1, b+3=0, 解得a=1, b= -3
所以餘式為 (x^2-4x+5)-3(x-2+i)+4+3i=x^2-7x+15
2013-04-17 16:50:34 補充:
點數不多,以後用系統允許的最低點數問就好
有誠意的問,就會得到有誠意的解答!
2013-04-18 08:34:31 補充:
你認為:除式為3次式,所以餘式至多為2次式。
基本上,這樣的觀念是對的,但餘式卻不能隨意設。
你問說你的假設哪裡出了問題,我上面第一點已經回答了,你可能沒有完全了解,我再舉一個簡單的例子:
若餘式為一次式,我們假設為ax+b是可以的,因為指定適當的a,則x項的係數會對,而常數項不會因為a值而受限,因為可以自由地指定b使常數項正確。若真正的餘式為2x+5,我們指定a=2且b=5就會對。
若假設為a(x+1)+b也沒問題,因為常數項雖會受到a的影響,但後面有個b可做補償。指定a=2且b=3,這樣仍可以得到2x+5。
2013-04-18 08:35:37 補充:
但若設為a(x+1)或a(x+1)+5那就掛了,因為指定a=2使x項係數正確,卻影響到常數項不正確,且沒有機會補償成正確的。
你的假設犯的正是這樣的錯!
你設的餘式a(x-3)(x-2+i)+3中,a一指定下去,使x^2項係數正確後,連帶x項係數和常數項全都受限了。從答案x^2-7x+15可看出,你的餘式a應該是1,但a=1代入後,變成1(x-3)(x-2+i)+3=x^2+(i-5)x+(9-3i),a=1使x^2項係數是對的,連帶強迫使x項係數固定為(i-5),常數項為(9-3i),毫無補償成正確的機會。所以餘式不可以隨便假設,我上面第一點講的就是這個道理。
2013-04-18 08:36:01 補充:
這就是為何一般二次餘式我們假設成ax^2+bx+c,就是a指定下去,b和c都能把後面的項補償為正確。
若設為a(x+1)^2+b(x+1)+c也行,因為a指定後,x^2項係數正確後,雖影響了x項和常數項,但b可以把x項係數補償為正確,此時因為a,b的指定,常數項仍不正確,但最後的c仍能補償為正確。
另一個原因就是如露亦如電大在意見欄所說的(x-2+i)不能單獨存在,所以假設時要很小心,除非像我上面第三點的另解那樣假設才可以。
有問題可以再問,多項式的觀念很重要。
2013-04-19 10:50:02 補充:
沒錯,你那樣假設是不合的。但原因不只一個。一個就是你最後說的理由,也就是意見欄如露亦如電大所說的理由。還有一個就是我上面一再舉例說明的理由。你那樣假設有雙重的錯誤存在。
除非像我上面的另一種解法那樣,後面還有虛數來補償才可以,不過那是比較難且技巧性的設法,你參考了解一下,對解題能力有幫助,但解法還是建議按照解答那種解法比較穩當易了解。