一題高中數學

-9 是 f(x) 的最小值 , 不是 f( f(x) ) 的最小值
-9 <= f(x) <= -5
所以 f( f(x) ) 的最小值發生在 f(x) = -5 的時候

設 f(x) =x^2+4x－5
且−3≤ x ≤ 0，則 f(f(x))的最小值為何?
Sol
f(f(x)=f(x^2+4x－5)
=(x^2+4x－5)^2+4(x^2+4x－5)－5
=(x^2+4x－5)^2+4(x^2+4x－5)+4－9
=(x^2+4x－5+2)^2－9
=(x^2+4x－3)^2－9
=[(x+2)^2－7]^2－9
－3<=x<=0
－1<=x+2<=2
0<=(x+2)^2<=4
－7<=(x+2)^2－7<=－3
9<=[(x+2)^2－7]^2<=49
0<=[(x+2)^2－7]^2=9<=40
0<=f(f(x))<=40
f(f(x))的最小值=0

f(x) =x^2+4x-5

先配方
f(x) =(x+2)^2-9
x+2=0
x=-2時有最小值-9

但是要求的式子是f(f(x))
因此f(x)的值要越接近-2越好(這樣帶入f(f(x))才有最小值-9)
但f(x)=-2時x=-2±√7......不再範圍內
因此帶數字(因不再範圍內故要帶最小值-3及最大值0)

x=0
f(x) =-5
x=-3
f(x) =-8
-5較接近-2

將x=0帶入f(f(x))
f(f(x))
=f(-5)
=(-5+2)^2-9
=9-9
=0