微積分 裡的定積分

使用變數變換，令 t=x^2, dt=2x dx
則 ∫ x cos^5(x^2) dx=(1/2)∫ cos^5(t) dt
利用分部積分，令 u=cos^4(t), dv=cos(t) dt
∫ cos^5(t) dt=∫ u dv=cos^4(t)sin(t)-∫ 4cos^3(t)sin^2(t) dt
∫ 4cos^3(t)sin^2(t) dt=4∫ cos^3(t) dt-4∫ cos^5(t) dt
∫ cos^5(t) dt=cos^4(t)sin(t)-4∫ cos^3(t) dt+4∫ cos^5(t) dt
合併得 3∫ cos^5(t) dt=4∫ cos^3(t) dt-cos^4(t)sin(t)
直接用三倍角公式 cos(3t)=4cos^3(t)-3cos(t)
4∫ cos^3(t) dt=∫ cos(3t)+3cos(t) dt=sin(3t)/3 +3sin(t)+3c
3∫ cos^5(t) dt=sin(3t)/3 +3sin(t)+3c-cos^4(t)sin(t) 消去 3
∫ cos^5(t) dt=sin(3t)/9 +sin(t) -cos^4(t)sin(t)/3 +c
將變數換回 x 得解
∫ cos^5(x^2) dx=sin(3x^2)/9 +sin(x^2) -cos^4(x^2)sin(x^2)/3 +c
希望能對您有幫助!

∫x*Cos^5(x^2)dx

=cos^6(x^2)/12+c

2013-04-13 18:10:14 補充：
因為急著要出門 所以看錯抱歉 上面是錯的