拋物線1題

設 (a, b) 為抛物線 y² = 4x 上一點。

因為 (a, b) 在抛物線 y² = 4x 上，
所以 b² = 4a
a = b²/4 ...... [1]

設 (a, b) 與 L 的距離為 d。

d = |a - b + 3| / √(1² + 1²)
d = |a - b + 3| / √2 ...... [2]

將 [1] 代入 [2]：
d = |(b²/4) - b + 3| /√2
d = |b² - 4b + 12| / 4√2
d = |(b² - 4b + 4) - 4 + 12| / 4√2
d = |(b - 2)² + 8| / 4√2
d = [(b - 2)² + 8] / 4√2
d = [(b - 2)²/4√2] + (8 / 4√2)
d = [(b - 2)²/4√2] + [8√2 / 4(√2)²]
d = [(b - 2)²/4√2] + √2

無論 b 為任何數值，[(b - 2)²/4√2] ≥ 0
當 [(b - 2)²/4√2] = 0 時，d 的最小值 = √2

1. 拋物線y² = 4x與直線L: x - y + 3 = 0 之間的最短距離為 √2

在解此拋物線題目的時候
由於有兩個變數，題目整體看起來會變得很不好做
為了把題目簡化
所以才發明了所謂的"參數式"
所謂的參數式就是將方程式用同一種符號代替整個式子
而且參數式的圖形意義代表：圖形上的動點(也就是用來表示圖形上所有的點)
習慣上都是用"t"

接下來要教大大怎麼假設參數式
對於拋物線參數式的假設有兩個步驟

1.先將一次式的地方(此題為4x)變成完全平方式：
　　由於數字4本身就是平方數，所以此題只需另x為t^2
　　此時的右式為4t^2(就是一個完全平方式了)

2.二次式的地方即可得知答案
　　y^2=4t^2
　　y=2t

所以我們可以令拋物線上的所有點均以(t^2，2t)作表示
當然此題我們就可以令到L最短距離的點是 (t^2，2t)
這時再用點到直線的距離公式，即可求解其最短距離為何囉

關於這部分由於上面的大大們都已經講得很詳細了
所以我就不多說囉:)
當然如果大大需要，我會再把算式打上來的
希望有幫助大大您^^



再舉的例子，設方程式 y^2=3x
由於數字3並不是平方數，所以此題必須另x=3t^2
這樣右式就等於9t^2(這樣才是完全平方式唷)
y^2=9t^2
y=3t
所以此方程式的參數式就為(3t，3t^2)

你好哦:

假設拋物線上一點 (t^2,2t)

利用點到直線距離公式..

可以知道

(t^2-2t+3)外面加絕對值除以(1^2+1^2)開根號

=(t^2-2t+3)/根號2

將t^2-2t+3使用配方法

=t^2-2.t.1+1^2+3-1^2

=(t-1)^2+2

當t=1時 有最小值2


所以最短距離

=2/根號2-------(分母有理化..所以分母分子同乘以根號2)

=2根號2/2

=根號2

我們可以先令拋物線動點(X,Y)=(t^2,2t)
這應該很好理解才對

y^2 = 4x
(2t)^2=4*(t^2)


然後就用距離公式啦~

(t^2-2t+3)的絕對值/根號(1+1)

=(t^2-2t+3)的絕對值/根號2

求最短
→t^2-2t+3要最小

→化成(t-1)^2+2

→得知t=1時，有最小值=2

→2/根號2=根號2

即為答案。

(x,y)=(t^2 .2t)

是拋物線上的動點