關於93台聯大微積分的題目

求以平面 z=2y 為上方界限, 並以拋物面 z=x^2+y^2 為下方界限
所圍之立體的體積.


解:

在給定 x, y 時, x^2+y^2≦z≦2y.

上下界限曲面交會處在 xy-平面之投影:
x^2+y^2 = 2y <==> x^2+(y-1)^2 = 1

故所求體積
V = ∫∫_{x^2+(y-1)^2≦1}∫_[x^2+y^2,2y] dz d(x,y)
　= ∫∫_{x^2+(y-1)^2≦1} (2y-x^2-y^2) d(x,y)
取雙變量變換:
x = r cos(θ), y = 1+ r sin(θ). J = r
(r,θ) 範圍: 0≦r≦1, 0≦θ≦2π
積分元
2y-x^2-y^2 = 1-x^2-(y-1)^2 = 1-r^2
故:
V = ∫_[0,1]∫_[0,2π] (1-r^2)r dθdr
= 2π∫_[0,1] (r-r^3) dr = 2π(1/2-1/4) = π/2.




2013-04-12 10:30:22 補充：
你的疑問是很基礎的. 不懂, 表示你對雙變量、多變量
積分的學習成果完全是 0, 請再把教本解說及例示仔細
研讀.

對一個函數 f(x,y) 在 xy-平面上一個區域 R 求積分,
實際演算是用 iterated integral 來完成, 也就是說把它
變成單變量積分.

2013-04-12 10:31:08 補充：
因此, 要考慮是先對 x 或先對 y 積分. 若先對 y 積分,
則是先固定 x, 而考慮 y 的範圍; 然後外層積分 x 的
範圍就是 R 在 x 軸上的投影, 即
∫∫_R f(x,y) d(x,y) = ∫_[a,b]∫_[g(x),h(x)] f(x,y) dy dx
其中 R = {(x,y): a≦x≦b, g(x)≦y≦h(x)}.

2013-04-12 10:31:18 補充：
求體積, 是 f(x,y,z)=1 在一個立體 D 的積分. 此例
D = {(x,y,z): x^2+y^2 ≦ 2y, x^2+y^2≦z≦2y}
其中 D 在 xy-平面上的投影邊界就是 z=x^2+y^2 與
z=2y 的交界 (兩曲面交集) 在 xy-平面的投影.

[[翻譯]]
求由平面z=2y上方和拋物面z=x^2+y^2下方所圍(物體)之部分之體積。

2013-04-11 17:30:20 補充：
find the volume of the solid t bounded above the plane z=2y and below
by the paraboloid z=x^2+y^2
少了一個字 by
應該為:
find the volume of the solid t bounded above *by* the plane z=2y and below
by the paraboloid z=x^2+y^2
參考:
http://www.lib.nthu.edu.tw/library/department/ref/exam/93t/paper/9302.pdf

2013-04-11 17:53:46 補充：
bounded above the plane和bounded above by the plane
意思有點不一樣，所以必須自我調整題目才能作答，調前(加by)調後(去by)，
就看你了，一個能做(調前)，一個不能做(調後)_精確說，也不是不能做，應該是說意義不大。
老怪物 ( 大師 4 級 ) 調前，與原問題完全相符合，並提供詳解，的確是正解。

剛看題目時，我覺得怪怪的，如果上網查一下原題目再提意見就好了，抱歉了。

2013-04-11 17:57:47 補充：
參考:
http://www.lib.nthu.edu.tw/library/department/ref/exam/93t/paper/9302.pdf
第8題。