請問小學資優題目

黑板上一共寫了一些數字，包括了2008個1，2009個2，2010個3，2011個4
，2012個5，每次操作都擦去其中4個不同的數字並寫上一個第 5種數字(例如
擦去1，2，3，4各1個，寫上一個5)，如果經過有限次操作後，黑板上恰好
剩下三個數字，那麼這三個數字的乘積是?
Sol
4－1=3
2008+2009+2010+2011+2012=10050
(10050－3)/3=3349
共操作3349次
設1擦去a個增加3349－a個
1最後剩下2008－a+(3349－a)=5357－2a個
5357為奇數
1最後剩下1個………………..
設2擦去b個增加3349－b個
2最後剩下2009－b+(3349－b)=5358－2b個
5358為偶數
2最後剩下0個……………..
設3擦去c個增加3349－c個
3最後剩下2010－a+(3349－c)=5359－2c個
5359為奇數
3最後剩下1個………………..
設4擦去d個增加3349－d個
4最後剩下2011－d+(3349－d)=5360－2d個
5360為偶數
4最後剩下0個……………..
設5擦去e個增加3349－e個
5最後剩下2012－e+(3349－e)=5361－2e個
5361為奇數
5最後剩下1個……………….
1*3*5=15

起初有: 2008個1，2009個2，2010個3，2011個4，2012個5
考慮數字 1,2,3,4,5 的"個數"之奇偶性，依次分別是: 偶數，奇數，偶數，奇數，偶數；記為 (偶，奇，偶，奇，偶)。

經過一次操作後，無論某一數是被"擦去"(個數減1)，或是被"寫上"(個數加1)，其個數之奇偶性均會改變，也就是說"偶數個變奇數個，奇數個變偶數個"。
所以一次操作後，(1,2,3,4,5) 的個數由 (偶，奇，偶，奇，偶) 變成 (奇，偶，奇，偶，奇)。再下一次操作後，(1,2,3,4,5) 的個數由 (奇，偶，奇，偶，奇) 變回 (偶，奇，偶，奇，偶)。因此，1,2,3,4,5 的個數在操作過程中呈現上述兩種狀況(交替)變換。

上面這段也可改為: 操作過程中，1,3,5 的個數之奇偶性彼此保持一致，而與 2,4 的個數之奇偶性保持相異。

當黑板上恰好剩下 3 個數字時，(1,2,3,4,5) 的個數必依次為 (奇，偶，奇，偶，奇)，因為 (偶，奇，偶，奇，偶) 的總和必是偶數個，而 3 是奇數。
現將 3 個數字分配給 (奇，偶，奇，偶，奇) 狀態，則必為 (1，0，1，0，1)，亦即，剩下 1 個 1，3 個 3，5 個 5 。
故所求 = 1x3x5 = 15...答
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本題亦可將 "每次操作都擦去其中4個不同的數字並寫上一個第5種數字"改寫為: "每次操作都將每一數字或者擦去一個，或者多寫一個"，則更具"挑戰性"，然推理過程與結果亦同。



2013-04-10 20:07:44 補充：
更正:

剩下 1 個 1，3 個 3，5 個 5

應為:

剩下 1 個 1，1個 3，1 個 5