關於定積分 正負面積處理

定積分積出來的值,是被積函數在X軸上方的面積,
如果被積函數在積分區間是負值,圖形在X軸下方,
那積出來就是負的,
所以積分出來的值原本就是有正有負,
如果題目是要求積分的值,那就不用加絕對值,
積出來是負的代表是在X軸下方的面積,
或是上下抵消後,X軸下方面積較大,
但如果題目是要求被積函數和X軸間的面積,
那就要加絕對值,因為不管在X軸上方或下方,面積永遠是正的.

"Evaluate each integral by interpreting it in terms of areas"
似乎是要求計算 "積分值", 而後把結果用 "面積" 來 "解釋".
因此, 似乎並不是要求計算 "面積" 總和.

2013-04-12 09:51:27 補充：
[修正]
題意應是:
將積分表示成面積, 以之求得積分值.
(日前把兩者順序寫反了.)

例:
∫_[0,2] (x^2-1) dx = ∫_[0,1](x^2-1) dx + ∫_[1,2] (x^2-1) dx
　　= - ∫_[0,1](1-x^2) dx + ∫_[1,2] (x^2-1) dx

2013-04-12 09:55:14 補充：
x^2-1 在 [0,2] 的積分, 是下列兩部分面積的差:
(1) x 從 0 到 1 , x軸之下, 曲線 y=x^2-1 之上的區域面積;
　相當於曲線 y=1-x^2 之下, x 軸之上, 在同樣 x 範圍之
　面積. 這部分面積是減項.
(2) x 從 1 到 2 , x軸之上, 曲線 y=x^2-1 之下的區域面積,
　這部分面積是加項(正項).

2013-04-12 09:55:25 補充：
第(1)部分面積是 A(1) = ∫_[0,1] (1-x^2) dx = 1-1/3 = 2/3;
第(2)部分面積是 A(2) = ∫_[1,2] (x^2-1) dx = 7/3 - 1 = 4/3.

因此, ∫_[0,2] (x^2-1) dx = A(2)-A(1) = 4/3 - 2/3 = 2/3.

2013-04-12 10:02:59 補充：
未看到原題, 僅能從文字去揣測出題者的用意.
除非分段處理可以套用簡便公式得到面積, 否則
"evaluate integral by interpreting it in terms of areas"
的解法是費力不討好, 如上面舉的例子. 但如果是
"計算積分值, 並把結果用面積來解釋" 就較合理.

2013-04-12 10:03:04 補充：
未看到原題, 僅能從文字去揣測出題者的用意.
除非分段處理可以套用簡便公式得到面積, 否則
"evaluate integral by interpreting it in terms of areas"
的解法是費力不討好, 如上面舉的例子. 但如果是
"計算積分值, 並把結果用面積來解釋" 就較合理.

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