不定方程整數解

23^n - 26k - 1 = 0
(23^n - 1) / 26 = k
明顯 n 非負, 否則 0 < k < - 1。
(23 - 1) (23^(n-1) + 23^(n-2) + ... + 1) / 26 = k
11 ( (13+10)^(n-1) + (13+10)^(n-2) + ... + 1 ) / 13 = k
11 ( 13M + 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1 ) / 13 = k , 其中 M 為正整數。

故
10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1 = 111...1 (n 個1) 能被 13 整除。
而 111111 能被 13 整除 , 但 1 , 11 , 111 , 1111 , 11111 不能被13 整除。
故0或全為1組成的數有且只有
0 , 111111 , 111111,111111 , 111111,111111,111111 , ...... 能被13 整除。
相應地 n = 0 , 6 , 12 , 18 , ....
即方程的整數解為 : n = 6m (m為非負整數)
k = (23^(6m) - 1) / 26

2013-04-06 17:38:08 補充：
明顯 n 非負, 否則 -1 < k < 0。