2013 AL純數paper2 LQ11

a)3x² + y² = 1
6x + 2y dy/dx = 0
dy/dx = -3x/y
dy/dx | (√3 cosθ / 3 , sinθ) = - 3 (√3 cosθ / 3) / sinθ
(y - sinθ) / (x - √3 cosθ / 3) = - 3 (√3 cosθ / 3) / sinθ
ysinθ - sin²θ = - 3 (√3 cosθ / 3) (x - √3 cosθ / 3)
3ysinθ - 3sin²θ = - √3 cosθ (3x - √3 cosθ)
3ysinθ - 3sin²θ = - 3√3 cosθ x + 3cos²θ
3√3 cosθ x + 3sinθ y - 3 = 0L 方程為 √3 cosθ x + sinθ y - 1 = 0
bi)x² + y² = 4
y² = 4 - (1 - sinθ y)² / (3cos² θ)
3cos²θ y² = 4 - 1 + 2sinθ y - sin²θ y²
(2cos²θ + 1)y² - 2sinθ y - 3 = 0
M 的 y 坐標為 (1/2) 2sinθ / (2cos²θ + 1) = sinθ / (2cos²θ + 1) , 代入 L 方程 :
√3 cosθ x + sinθ sinθ / (2cos²θ + 1) - 1 = 0
√3 cosθ x = 3cos²θ / (2cos²θ + 1)
x = √3 cosθ / (2cos²θ + 1)M 的坐標為 ( √3 cosθ / (2cos²θ + 1) , sinθ / (2cos²θ + 1) ).
ii)1)△POM = |...... | 0 .................................................................0...| ....|
|.1/2.| (√3 cosθ)/3 ............................................. sin θ | ....|
|.......| (√3 cosθ) / (2cos²θ + 1) sinθ / (2cos²θ + 1)....| ....|
|.......| 0................................................................ 0....| ....|
=| (1/2) ( (√3 cosθ)/3 * sinθ / (2cos²θ + 1) - (√3 cosθ) / (2cos²θ + 1) * sin θ ) |= | √3/6 cosθ sinθ / (2cos²θ + 1) - √3/2 cosθ sinθ / (2cos²θ + 1) |= | (√3/6 - √3/2) (1/2)sin2θ / (cos2θ + 2) |= (√3/6) sin2θ / (cos2θ + 2)
2)OP 斜率 = sinθ / [(√3 cosθ)/3] = √3 tanθ
OM 斜率 = (sinθ) / (2cos²θ + 1) / [(√3 cosθ) / (2cos²θ + 1)] = √3/3 tanθ因 0 < θ < π/2 , 故 P , M 均在第一象限 , 則 ∠POM ≤ π/2 , 得tan∠POM
= (√3 tanθ - √3/3 tanθ) / (1 + √3 tanθ √3/3 tanθ)
= 2√3/3 tanθ / (1 + tan²θ)
= √3/3 sin2θ
3)不同意。
令 θ = π/4 , tan∠POM 有最大值 √3/3 , ∠POM 有最大值 π/6。
某人宣稱 △POM 的最大面積為 (√3/6) sin(π/2) / (cos(π/2) + 2) = √3 /12
當且僅當 ∠POM = π/6。
考慮
(√3/6) sin2θ / (cos2θ + 2) = √3 /12
2√3 sin2θ = √3 (cos2θ + 2)
12 sin²2θ = 3(cos²2θ + 4cos2θ + 4)
4 (1 - cos²2θ) = cos²2θ + 4cos2θ + 4
5cos²2θ + 4cos2θ = 0
cos2θ (5cos2θ + 4) = 0
cos2θ = 0 或 cos2θ = - 4/5
θ = π/4 或 θ = 1.2490... , sin2θ = √(1 - 16/25) = 3/5故當 tan∠POM = (√3 * 3/5) / 3 = √3/5 時 ,
即 ∠POM = 0.33347... < π/6 時也有 △POM = √3 /12 ,
故其宣稱錯誤。

2013-04-08 13:17:04 補充：
解釋二 :
令 θ = π/3, tan∠POM = 1/2 , ∠POM < π/6。
△POM = 1/6 > √3 /12 , 故∠POM 有最大值時△POM非最大,所以其宣稱錯誤。

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