證明10^(2013 log2 -605) 是一個包含多於6

證明10^(2013 log2 -605) 是一個包含小於606個小數位的有理數
Sol
A=10^(2013 log2-605)
=10^(2013log2)/10^605
=[(10^log2)^2013]/10^605
=(2^2013)/10^605
A為有理數
A=(2^2013)/10^605
=(2^605)*(2^1408)/[(2^605)*(5^605)]
=(2^1408)/(5^605)
2/5=0.4是一個包含1個小數位的有理數
2^2/5=0.8是一個包含1個小數位的有理數
2^3/5=1.6是一個包含1個小數位的有理數
…
2^1408/5是一個包含1個小數位的有理數
2^2/5^2=0.64是一個包含2個小數位的有理數
…
2^1408/5^2是一個包含2個小數位的有理數
2^1408/5^605是一個包含605個小數位的有理數
2^1408/5^605是一個包含小於606個小數位的有理數
10^(2013 log2 -605) 是一個包含小於606個小數位的有理數

設 2^2013 = 10^n
n = 2013 log 2

2^2013 = 10^(2013 log 2)
2^2013 = 10^(605+2013 log 2 -605)
2^2013 = (10^605)[10^(2013 log 2 -605)]

因為左方為整數,所以10^(2013 log 2 -605)為有理數
當10^(2013 log 2 -605)多於605個小數位時,
則右方(10^605)[10^(2013 log 2 -605)]必含有最小1個小數位,
不等於左方的整數,是不可能的.

所以10^(2013 log2 -605)必須包含小於606個小數位