有關數列及完全平方數的證明

99 = 9 * 11
999 = 9 * 111
9999 = 9* 1111

因為9是完全平方數﹐故只需証明11,111,1111...不是完全平方數

考慮奇數的平方 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 除4餘1

即奇完全平方數 - 1 可以被4整除

但11,111,1111全部減1後都不可以被4整除(最後兩位數字10不可以被4整除)

因此99, 999, 9999 中每一個數都不是完全平方數﹐命題得証

注意到9是完全平方數，
所以只要證11、111、1111、…中的每一數都不是完全平方數，
原題就得證了。

所以，以下證：
11、111、1111、…中的每一數都不是完全平方數

引理：奇數的完全平方數除以8的餘數只能餘1
引理證明：
1^3≡1 (mod 8)
3^3≡1 (mod 8)
5^3≡1 (mod 8)
7^3≡1 (mod 8)
引理得證。

又因為11、111、1111、…中的每一數都是奇數，
而11除以8的餘數為3；
111、1111、…除以8的餘數為7，
故由引理，得
11、111、1111、…中的每一數都不是完全平方數。

所以99、999、9999...中的每一個數都不是完全平方數。