2013 AL純數paper1 LQ11

(a) 定義 A = (a.......-2) , 其中 a∈Ｒ.
.....................(-2...a+3)

設 λ , μ ∈Ｒ 及 b > 0 使得 A( 1) = λ ( 1 ) 及 A( b ) = μ ( b )
................................................(-2)......( -2)............( 1 ).......( 1 )

(i) 以 a 表 λ.

(ii) 證明 b=2 , 並以 a 表 μ.

(iii) 定義 M = (1...2) . 將 M 的轉置矩陣記為 M^^T.
......................(-2..1)

(1) 計算 M^^T M.

(2) 利用數學歸納法 , 證明對任意 n∈Ｎ , A^n = (1/5) MD^n M^^T , 其中
D = ( λ...0)
.......(0.. .μ)
(7 分)

(b) 設 x , y ∈Ｒ.

(i) 證明若 (x.. .y) ( 3....-2)^2013...(x) = 0 , 則 x = y = 0.
.............................(-2.....6).............(y)

(ii) 某人宣稱若 (x.. .y) ( 1....-2)^2013...(x) = 0 , 則 x = y = 0.
....................................(-2.....4).............(y)

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