2013 AL純數paper2 LQ10

[注意 : 對任意函數 f , f^^(0) = f.]

設 u(x) = x / (x²+1).

(a) 證明對任意非負的整數 n ,
(x²+1)u^^(n+2) (x) + 2(n+2)xu^^(n+1) (x) + (n+1)(n+2)u^^(n) (x) = 0. (2 分)

(b) 對任意非負的整數 n , 定義 H_n (x) = [(x²+1)^(n+1) u^^(n) (x)] / n! .

(i) 證明 d/dx H_(n+1) (x) = - (n+2) H_n (x).

(ii) 證明 H_n (x) 為 n+1 次多項式.

(iii) 證明對所有 r = 0 , 1 , ... , n ,
(H_n)^^(r) (x) = [(-1)^r (n+1)! / (n+1-r)!] H_(n-r) (x).

(iv) 計算 (H_9)^^(4) (0) 及 (H_9)^^(11) (0).
(13 分)