設 f : Ｒ→Ｒ為連續函數使得對所有 x∈R , f(x) = 2xe^x - ∫(1 to x) (2e^u - f(u))du.
(a) 求 f'(x) - f(x).
(b) 藉考慮 e^(-x) f(x) 的導數 , 求 f(x).
(7 分)
2013 AL純數paper2 Q2
2013-03-31 3:31 am
回答 (2)
2013-03-31 7:35 am
✔ 最佳答案
----------------------------------------------------------------------------------------------圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA05107138/o/20130330233503.jpg
2013-03-31 6:26 am
(a) 利用微積分基本原理 ,
f ' (x) = 2e^x + 2xe^x - ( 2e^x - f(x) )
故 f ' (x) = 2xe^x + f(x)
f ' (x) - f(x) = 2xe^x
2013-03-30 22:27:35 補充：
(b)
d [' e^-xf(x)]/dx
= e^(-x) f ' (x) - e^(-x)f(x)
= e^(-x)( f ' (x) - f(x) )
= e^(-x) (2xe^x)
= 2x
故 e^-x f(x) = x^2 + C ..(*)
代X=1 入題 , f(1) = 2e - 0 = 2e
代x=1入(*) , (e^-1)f(1) = 1+C , 2 =1+C,C=1
故 f(x) = e^x * ( x^2 + 1)
f ' (x) = 2e^x + 2xe^x - ( 2e^x - f(x) )
故 f ' (x) = 2xe^x + f(x)
f ' (x) - f(x) = 2xe^x
2013-03-30 22:27:35 補充：
(b)
d [' e^-xf(x)]/dx
= e^(-x) f ' (x) - e^(-x)f(x)
= e^(-x)( f ' (x) - f(x) )
= e^(-x) (2xe^x)
= 2x
故 e^-x f(x) = x^2 + C ..(*)
代X=1 入題 , f(1) = 2e - 0 = 2e
代x=1入(*) , (e^-1)f(1) = 1+C , 2 =1+C,C=1
故 f(x) = e^x * ( x^2 + 1)
收錄日期: 2021-04-24 10:16:16
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