函數長題目

(a) 求 f(1). [解]
f(1) = f(1)+f(1)-2 故 f(1) = 2.
(b) 證明 f 為連續函數. [證]
f(x+h)-f(x) = f(x(1+h/x)) -f(x) = f(1+h/x)-2 = f(1+h/x)-f(1).
固定 x, 令 h→0, 則 f(1+h/x)-f(1) → 0.
故 f(x+h)-f(x) → 0 當 h→0. 即 f 在任一點 x>0 皆連續. ▌
(c) 解釋 f 是否內射函數. [解]設 y≠x, 則 y/x≠1.
f(y)-f(x) = f(x(y/x))-f(x) = f(y/x)-2 = f(y/x)-f(1)≠0.
即 f(y)≠f(x).
故 f 為 injective function.
(d) 假定 f(x) 於 x=1 處可微及 f(e) = 6.(i) 證明 f 為可微函數.[證]
(f(x+h)-f(x))/h = (f(1+h/x)-f(1))/h
　　　　 　 　 = (1/x)(f(1+h/x)-f(1))/(h/x)
→ (1/x)f'(1) 當 h→0
故 f 為可微函數, 且 f'(x) = f'(1)/x for all x>0.
(ii) 求 f ' (2013).[解]
由 f'(x) = f'(1)/x for all x>0
得 f(x) = f'(1) ln(x) + C.
又由 f(1) = 2 得 C = 2.
再由 f(e) = 6 得 f'(1) = 4. 故 f(x) = 4ln(x)+2.
而 f'(2013) = 4/2013.