✔ 最佳答案
1.∫1/[(x-1)√(x^2-2x-3)] dx=∫1/{(x-1)√[(x-1)^2-4]} dx=(1/4)∫1/【[(x-1)/2]√{[(x-1)/2]^2-1}】dx ……(1)令u=(x-1)/2, du=(1/2)dx(1)=(1/2)∫1/[u√(u^2-1)] du=sec^(-1) u + c=sec^(-1) (x-1)/2 + c 2.∫1/√(2-x-x^2) dx=∫1/√[(9/4)-(x+1/2)^2]dx=(2/3)∫1/√{1-[(2x+1)/3]^2}dx …..(2)令u=(2x+1)/3,du=(2/3) dx(2)=∫1/√(1-u^2) du=sin^(-1) u + c=sin^(-1) (2x+1)/3 + c
2013-03-27 17:05:11 補充：
1.令x-1=2sec t, dx=2sec t tan t dt
∫1/[(x-1)√(x^2-2x-3)] dx
=∫1/{(x-1)√[(x-1)^2-4]} dx
=∫(2sec t tan t)/[2sec t* 2√(sec^2 t -1)] dt
=∫(2sec t tan t)/(4sec t tan t) dt
=∫1/2 dt
=t/2 + c
=sec^(-1) (x-1)/2 + c
2013-03-27 17:05:25 補充：
2.令x+(1/2) = (3/2) sin t, dx=(3/2)cos t dt
∫1/√(2-x-x^2) dx.
=∫1/√{(9/4)-[x+(1/2)]^2} dx
=∫[(3/2)cos t]/[(3/2)cos t] dt
=∫dt
=t + c
=sin^(-1) (2/3)[x+(1/2)] + c
=sin^(-1) (2x+1)/3 + c
以上是老怪物大在意見欄提示的作法
必較好做且快速，長知識了。
2013-03-27 22:25:26 補充：
2.若分子有x,要配成x+(1/2)的形式
∫x/√(2-x-x^2) dx
=∫[x+(1/2)]-(1/2]/√(2-x-x^2) dx
=∫[x+(1/2)]/√(2-x-x^2) dx -(1/2)∫1/√(2-x-x^2) dx
分兩部分來做,
第一項令u=2-x-x^2, du=(-2x-1) dx = -2[x+(1/2)] dx
第一項=(-1/2)∫du/√u
=(-1/2)*2√u
=-√u
=-√2-x-x^2
第二項參考原來第2題為(-1/2)sin^(-1) (2x+1)/3
合起來為
-√(2-x-x^2) – (1/2)sin^(-1)(2x+1)/3
2013-03-27 22:26:33 補充：
以後題目看清楚再打字，不要再勞師動眾一改再改。
