Find the value of c10.

第一眼看到這題目,直覺地就想到根與係數的關係,
但仔細想過後,這條路似乎走不通,
後來想到把新方程式換變數.....

令 x = y^2 ,
x^20 + (c19)x^19 + (c18)x^18 + ... (c1)x + (c0) = 0 變成
y^40 + (c19)y^38 + (c18)y^36 + ... (c1)y + (c0) = 0
這個方程式的根為 正負α1, 正負α2, ... , 正負α20,
其實上述的方程式再把 y 改回 x 也沒關係,它們都只是虛變數,

再回到原先的條件,
x^20 + x^13 + 3x^7 + 23 = 0 的根為 α1, α2, ... , α20
那麼再換一次變數, x 改為 -x ,得到
x^20 - x^13 - 3x^7 + 23 = 0 的根為 -α1, -α2, ... , -α20
把上述兩式相乘,
(x^20 + x^13 + 3x^7 + 23) (x^20 - x^13 - 3x^7 + 23) = 0
它和之前 y 的40次方程式應該是一樣的,因為根都一樣,
再比較 x^20 係數即可得 c10 = 40

To 進哥:
Brilliant!