Find the value of c10.

2013-03-26 12:49 am

It is given that the equation x^20 + x^13 + 3x^7 + 23 = 0
has roots α1, α2, ... , α20 (not necessarily real).
If the equation x^20 + (c19)x^19 + (c18)x^18 + ... (c1)x + (c0) = 0
(where c0, c1, ... c19 are constants) has roots (α1)^2, (α2)^2, ... , (α20)^2,
find the value of c10.

回答 (2)

用戶39960

2013-03-27 7:54 pm

✔ 最佳答案

第一眼看到這題目,直覺地就想到根與係數的關係,
但仔細想過後,這條路似乎走不通,
後來想到把新方程式換變數.....

令 x = y^2 ,
x^20 + (c19)x^19 + (c18)x^18 + ... (c1)x + (c0) = 0 變成
y^40 + (c19)y^38 + (c18)y^36 + ... (c1)y + (c0) = 0
這個方程式的根為正負α1, 正負α2, ... , 正負α20,
其實上述的方程式再把 y 改回 x 也沒關係,它們都只是虛變數,

再回到原先的條件,
x^20 + x^13 + 3x^7 + 23 = 0 的根為 α1, α2, ... , α20
那麼再換一次變數, x 改為 -x ,得到
x^20 - x^13 - 3x^7 + 23 = 0 的根為 -α1, -α2, ... , -α20
把上述兩式相乘,
(x^20 + x^13 + 3x^7 + 23) (x^20 - x^13 - 3x^7 + 23) = 0
它和之前 y 的40次方程式應該是一樣的,因為根都一樣,
再比較 x^20 係數即可得 c10 = 40

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用戶27207

2013-03-27 8:00 pm

To 進哥:
Brilliant!

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