數學sequence n(n+1)/2 的問題

如果 n(n+1)/2 是在 1000 內的奇數, 則
n(n+1) < 2000
==> n < 45
==> n/2 < 22.5
小於 22 的奇數共有 11 個, 所以這條公式可以找到 1000 裡面有22 個 n.
包括 n = 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 17, 18, 21, 22, 25, 26, 29, 30, 33, 34, 37, 38, 41, 42.


2013-03-21 10:10:47 補充：
少於 45 的有 21 個單數——我喜歡用除以 2 的方法。

2013-03-21 10:18:12 補充：
Sorry, 我寫錯咗。
少於 45 的有 22 個雙數，這 22 個雙數除以 2 就會是單數。
若 n 是這個雙數，則 (n/2) 及 (n+1) 都是單數，它們的積是單數。
若 (n+1)/2 是這個雙數，則 n 及 (n+1)/2 都是單數，它們的積是單數。

2013-03-21 10:20:24 補充：
太心急了，最尾一行又打錯。

若 (n+1) 是這個雙數，則 n 及 (n+1)/2 都是單數，它們的積是單數。

2013-03-21 10:27:40 補充：
怪不得那麼多人喜歡在意見箱作補充。

如果 n(n+1)/2 是在 1000 內的奇數, 則
n(n+1) < 2000
==> n < 45

少於 45 的有 22 個雙數，這 22 個雙數除以 2 就會是單數。
若 n 是這個雙數，則 (n/2) 及 (n+1) 都是單數，它們的積是單數。
若 (n+1) 是這個雙數，則 n/2 及 (n+1)/2 都是單數，它們的積是單數。

(這個補充比較完整。)

Sol
n(n+1)/2<=1000
n(n+1)<=2000
44*45=1980
45*46=2070
n<=44
(1) n=4p
n(n+1)/2
=4p*(4p+1)/2
=2p(4p+1)為偶數
(2) n=4p+1
n(n+1)/2
=(4p+1)*(4p+2)/2
=(4p+1)*(2p+1)為奇數
1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41共有11個

2013-03-21 18:02:00 補充：
(3) n=4p+2
n(n+1)/2
=(4p+2)*(4p+3)/2
=(2p+1)*(4p+3)為奇數
2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42共有11個
(4) n=4p+3
n(n+1)/2
=(4p+3)*(4p+4)/2
=(4p+3)*(2p+3)為偶數
綜合(1)，(2)，(3)，(4)共有22個

sorry, I don't understand what you mean...could you give more hints?

2013-03-20 22:20:53 補充：
I can do it in a computer, but I have no ideas how to explain..

2013-03-20 22:25:33 補充：
i tried for the value less than 500, 1000 and 2000,
and I find that the relationship is n/2 + 1 for finding the number of odd number. (where n is the number of terms for both odd and even number)
But why is it?

Hint: n(n + 1)/2 is odd when n and n + 1 are both not divisible by 4.