對數與內插法的問題

10^(1.256)怎麼算呢？
令A=10^(1.256)
logA=log10^(1.256)=1.256
但要算的是A,所以要查表
logA=1.256=1+0.2560
=log10+logx
畫內插法的長方形圖
上方由左到右為
2553 2560 2577
下方由左到右為
1.80 x 1.81
利用比例求出x
最後算出x後
原式logA=log10x

10^(2.053)怎麼算呢？
同上以此類推
令A=10^(2.053)
logA=log10^(2.053)=2.053
=2+0.053
=log10^2+logx
=log10^2x

A1：log 10 ^ (1.256) = 1.256 × log 10 = 1.256 = 1 + 0.256
　　查表知log 1.8 = 0.2553，log 1.81 = 0.2577
　　　x ｜log x
　　－－＋－－－－
　　1.8　｜0.2553
　　－－＋－－－－
　　　x ｜0.256
　　－－＋－－－－
　　1.81｜0.2577
由內插法知(x - 1.8) / (1.81 - 1.8) = (0.256 - 0.2553) / (0.2577 - 0.2553)
=> (x - 1.8) / 0.01 = 0.0007 / 0.0024
=> 0.0024x - 0.00432 = 0.000007
=> 0.0024x = 0.004327
=> x = 1.8029
所以10 ^ (1.256) = 10 × 1.8029 = 18.029
按計算機10 ^ (1.256) = 18.030177408595689514556427303429

A2：log 10 ^ (2.053) = 2.053 × log 10 = 2.053 = 2 + 0.053
　　查表知log 1.12 = 0.0492，log 1.13 = 0.0531
　　　x ｜log x
　　－－＋－－－－
　　1.12 ｜0.0492
　　－－＋－－－－
　　　x ｜0.053
　　－－＋－－－－
　　1.13｜0.0531
由內插法知(x - 1.12) / (1.13 - 1.12) = (0.053 - 0.0492) / (0.0531 - 0.0492)
=> (x - 1.12) / 0.01 = 0.0038 / 0.0039
=> 0.0039x - 0.004368 = 0.000038
=> 0.0039x = 0.004406
=> x = 1.1297
所以10 ^ (2.053) = 100 × 1.1297 = 112.97
按計算機10 ^ (2.053) = 112.97959146727978159871404111055

2013-03-20 09:09:30 補充：
如果你要算得更精確，你必須用對數表後面的表尾差。
我本人不知道怎麼使用，因為高一數學99課綱課本的對數表並沒有表尾差。

2013-03-22 10:05:21 補充：
觀察下圖，你就會知道用內插法會不夠精準。
　↑ y
　｜
　｜　　　P　　A
　｜　　／●－－●－ y = log x
　｜ B●－－●－／　
　｜／　　　Q
－＋－－－－－→ x
　｜ ∕
　｜｜
　｜｜
　｜｜
　｜｜
　｜｜
P與Q之間有一段距離。

2013-03-22 10:05:51 補充：
我圖畫的不夠好，希望你能看得懂。

內插法應給對數值表

參考做法有誤差只做第一題

令X=10^1.256
==>log10^1.256=logX

(因log1.7782≒0.25, log1.8197≒0.26)

log10^1.256=1.256log10=1.256=1+0.256=log10+logP

(1.8197-1.7782)/(P-1.7782)=(0.26-0.25)/(0.256-0.25)

==>P=2.0272

log10^1.256=log10+log2.0272=log(10*2.0272)=log20.272

==>x=20.272

實際10^1.256=18.0301

(誤差2.2419)

2013-03-18 21:13:52 補充：
更正
1.
令X=10^1.256
==>log10^1.256=logX

(因log1.8≒0.2553, log1.81≒0.2577)

log10^1.256=1.256log10=1.256=1+0.256=log10+logP

(1.81-1.8)/(P-1.8)=(0.2577-0.2553)/(0.256-0.2553)

==>P=1.8029
log10^1.256=log10+log1.8029=log(10*1.8029)=log18.029
==>x=18.029

2013-03-18 21:31:55 補充：
2.
令Y=10^2.053
==>log10^2.053=logY

(因log1.12≒0.04921, log1.13≒0.05307)

log10^2.053=2.053log10=2.053=2+0.053=log10^2+logP

(1.13-1.12)/(P-1.12)=(0.05307-0.04921)/(0.053-0.04921)

==>P=1.1298
log10^2.053=log10^2+log1.1298=log(100*1.1298)=log112.98
==>Y=112.98


所以10^2.053≒112.98

2013-03-18 22:20:40 補充：
內插法
只是用算逼近值的工具
當然或有誤差只要誤差在可接受的範圍即可

2013-03-18 22:22:40 補充：
更正倒數第二行中
逼近近似值

2013-03-18 23:44:12 補充：
想用比較精確方法計算出來,可能需用尾差表。

= =...........