國二等差級數

3.已知四個數成等差數列，且第一個數和第三個數的比為3:11，若第二個數為21，求此四個數的和。
設四個數分別為a-d,a,a+d,a+2da=21(a-d)/(a+d)=3/11 交叉相乘

=> 3a+3d=11a-11d
=> 8a=14d
=> 7d=4a=4*21=84
=> d=84/7=12所以此4數為: 9,21,33,45 9+21+33+45=108
4.只知一多邊形的周長為287公分，其邊常恰成公差為5公分的等差數列，若最長邊為56公分，求:
(1)多邊形的邊數
(2)最短邊長
d=5sn=[2a1+(n-1)d]*n/2=287
=> 2na1+5n(n-1)=2*287......(1)an=a1+(n-1)d=a1+5(n-1)=56.........(2)
(1)-2n(2): 5n^2-117n+574=0
=>(5n-82)(n-7)=0
==> n=7 ,(n=82/5不合)(2)最短邊長=a1=56-5(n-1)=56-5(7-1)=26 9.已知四個數成等差級數列，且和為160，若第一個數和第三個數的比為1:5,求此四個數的和。設此4數為: (a-d),a,(a+d),(a+2d)(a-d)/(a+d)=1/5 交叉相乘

=> a+d=5a-5d => 2a=3d

(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=4a+2d=160
=> 2a+d=80將2a=3d代入下式知:
4d=80
=> 將d=20代回原式得 a=30所以此4數為: 10,30,50,70

10+30+50+70=160

2013-03-15 10:06:34 補充：
7.求1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+.....+299/3的總和。

1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+......+299/3
=(1/3+2/3+3/3+4/3+5/3+6/3+7/3+8/3+9/3+10/3+11/3+12/3+......+299/3+300/3)-(3/3+6/3+9/3+---+300/3)

2013-03-15 10:06:39 補充：
=(1+2+3+4+....+299+300)/3 - (1+2+3+4+...+100)
=[300(1+300)/2]/3 - [100(1+100)/2] (上底+下底)*高/2=總和公式
=15050-5050=10000

2013-03-15 10:07:13 補充：
8.求級數10+11-12+13+14-15+.......前100項的和。
an=a1+(n-1)d ==>an=10+(100-1)*1=109 暫看d=1 每三項是負號
bn=b1+(n-1)d ==>bn=-12+(n-1)*(-3)=-3n-9=若等於-108 ==>n=33 整數合題意

10+11-12+13+14-15+.......+106+107-108+109
=(10+13+...+106+109)+(11+14+...+107)-(12+15+...+108) 分三組取公差為3

2013-03-15 10:07:20 補充：
=34*(10+109)/2 +33*(11+107)/2 -33*(12+108)/2 (上底+下底)*高/2=總和公式
=2023+1947-1980=1990

註: 109=10+(n-1)*3 ==>n=34
107=11+(n-1)*3 ==>n=33
108=12+(n-1)*3 ==>n=33

2013-03-15 10:26:10 補充：
1.有大小相同的球若干顆，全部的球可以擺成一個正方形，也可以擺成一個正三角形，如下圖，若擺成正三角形時，每邊球的顆數比擺成正方形每邊球的顆數多兩顆，則球總共有幾顆?

O O O ˙ ˙ ˙ ˙ O
O O O ˙ ˙ ˙ ˙ O O
O O O ˙ ˙ ˙ ˙ O O O
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
˙ ˙ ˙
設X為正方形的邊,Y為三角形的編

Y(Y+1)/2=X^2
==>Y平方+Y=2X平方

2013-03-15 10:26:15 補充：
令X+2=Y

(X+2)^2+(X+2)=2X^2

==>X^2+5X+6=2X^2

==>X^2-5X-6=0

==>(X+1)(X-6)=0

==>X=6或 -1 (負不合)

X^2=6x6=36

2013-03-15 10:39:38 補充：
2.某水泥匠依照附圖所呈現的設計規則，在長方形空地上鋪設灰、白兩種磁磚。已知他總共用了400塊灰磚，則他將此長方形空地鋪滿需搭配多少塊白磚?

設共鋪了n層磁磚
Sn=1+3+5+7+---=400
==>Sn=[2a1+(n-1)d]*n/2=[2+(n-1)*2]*n/2=400
==>n^2=400
==>n=20,(-20不合)

白磁磚共有2*(1+2---+19)=2*[19(1+19)/2]=380 總和公式

2013-03-15 10:55:55 補充：
6.禮堂共有50排座位，第一排有a1=10個座位，且每一排比前一排多d=4個座位。

按照號碼入座，若小雨坐在第7排最後一個座位，小微坐在第9排最後一個座位，

則:

(1)小雨幾號?

Sn=[2a1+(n-1)d]*n/2

=(2*10+6*4)*7/2

=154


(2)小微幾號?
Sn=[2a1+(n-1)d]*n/2
==>S9=(2*10+8*4)*9/2

=234

2013-03-15 11:41:57 補充：
5.有一等差級數共有偶數個項已知首項為19,公差為4，偶數項的和比奇數項的和大20,求:
(1)數項

19,23,27,31,35,----

Sn=19+27+35+---=[2*19+(n-1)*8]*n/2

Sn'=23+31+39+---=[2*23+(n-1)*8]*n/2

Sn'-Sn=[2*23+(n-1)*8]*n/2-[2*19+(n-1)*8]*n/2=20
==>8n=40 ==>n=5

項數=2*5=10

(2)級數和
Tn=([2*19+9*4)*10/2=370

2013-03-15 12:04:36 補充：
法二:
8.求級數10+11-12+13+14-15+.......前100項的和。
10+11-12+13+14-15+.......
=(10+11-12)+(13+14-15)+(16+17-18)+---+(106+107-108)+109
=(9+12+15+---+105)+109
=33*[(9+105)/2]+109
=1990

註:105=9+(n-1)*3 ==>n=33

2013-03-16 09:17:51 補充：
為區分與原來400塊磁磚不同而用n層

1.有大小相同的球若干顆，全部的球可以擺成一個正方形，也可以擺成一個正三角形，如下圖，若擺成正三角形時，每邊球的顆數比擺成正方形每邊球的顆數多兩顆，則球總共有幾顆?

SO:
擺成正三角形時第一層有1個,第二層有2個,第三層有3個,當n層時有n個,1+2+3+4+5...........+n ,高同時也是n,利用梯形公式求總和
設正三角形最後一層邊長為n, 則正方形每邊球的顆數為n-2
正三角形總球數相等正方形總球數
(1+n)xn除以2=(n-2)^2
(1+n)xn/2=n^2-4n+4
同乘2"
n^2+n=2n^2-8n+8
n^2-9n+8=0
(n-8)(n-1)=0
n=8,or n=1(不合)
代入正方形(8-2)(8-2)=36
共36顆
希望對你有幫助!!!

1有大小相同的球若干顆，全部的球可以擺成一個正方形，也可以擺成一個
正三角形，如下圖，若擺成正三角形時，每邊球的顆數比擺成正方形每邊球
的顆數多兩顆，則球總共有幾顆?
O O O ˙ ˙ ˙ ˙ O
O O O ˙ ˙ ˙ ˙ O O
O O O ˙ ˙ ˙ ˙ O O O
Sol
x^2=(1+x+2)*(x+2)/2
2x^2=x^2+5x+6
x^2－5x－6=0
(x－6)(x+1)=0
x=6 or x=－1(不合)
球總共有6^2=36顆

3.已知四個數成等差數列，且第一個數和第三個數的比為3:11，若第二個數
為21，求此四個數的和
Sol
設四個數分別為3a，7a，11a，15a
7a=21
a=3
S=3a+7a+11a+15a=36a=108

4.只知一多邊形的周長為287公分，其邊長恰成公差為5公分的等差數列，若最長邊為56公分，求：
(1)多邊形的邊數
Sol
an=56+(n－1)*(－5)=61－5n
287=(56+61－5n)*n/2
574=－5n^2+117n
5n^2－117n+574=0
(n－7)(5n－82)=0
n=7 or n=82/5(不合)
(2)最短邊長
a7=61－5*7=26

5.有一等差級數共有偶數個項已知首項為19，公差為4，偶數項的和比奇數項的和大20，求：
(1)項數
項數=2*(20/4)=10
(2)級數和
a10=a1+9d=19+36=55
S10=(19+55)*10/2=370

6.禮堂共有50排座位，第一排有10個座位，且每一排比前一排多4個座位。
按照號碼入座，若小雨坐在第7排最後一個座位，小微坐在第9排最後一個座位，
則：
(1)小雨幾號?
Sol
a1=10，d=4
a7=a1+6d=10+24=34
S7=(10+34)*7/2=154
小雨座位154號
(2).小微幾號?
Sol
a9=a1+8d=10+32=42
S9=(10+42)*9/2=234
小微坐在234號

7.求1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+.....+299/3的總和
Sol
A=1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+.....+299/3
=(1/3+2/3)+(4/3+5/3)+(7/3+8/3)+(10/3+11/3)+.....+(298/3+299/3)
=(3/3)+(9/3)+(15/3)+(21/3)+.....+(597/3)
=1+3+5+7+…+199
(199－1)/2+1=100
A=(1+199)*100/2=10000

8.求級數10+11-12+13+14-15+.......前100項的和
Sol
10+11－12+13+14－15+.......前100項
=(10+13+16+…+109)+(11+14+17+…+107)－(12+15+18+…+108)
=(10+109)*34/2+(11+107)*33/2－(12+108)*33/2
=2023+1947－1980
=1990

9.已知四個數成等差級數列，且和為160，若第一個數和第三個數的比為1.5，
求此四個數的和
Sol
和為160(題意)

1.有大小相同的球若干顆，全部的球可以擺成一個正方形，也可以擺成一個正三角形，如下圖，若擺成正三角形時，每邊球的顆數比擺成正方形每邊球的顆數多兩顆，則球總共有幾顆?正方形=m^2正三角形=n(n+1)/2=m^2m=n-2 => (n-2)^2=n(n+1)/22(n^2-4n+4)=n^2+nn^2-9n+8=0n=8 => m=6m^2=36..........ans
2.某水泥匠依照附圖所呈現的設計規則，在長方形空地上鋪設灰、白兩種磁磚。已知他總共用了400塊灰磚，則他將此長方形空地鋪滿需搭配多少塊白磚?
(這題有圖...可是我不知道怎麼弄上來...>"< )沒有圖形無法演算!!
3.已知四個數成等差數列，且第一個數和第三個數的比為3:11，若第二個數為21，求此四個數的和。a1:(a1+2d)=3:11 => 11a1=3(a1+2d)8a1=6d => d=4a1/321=a1+d=a1+4a1/363=7a1 => a1=9, d=36/3=129+21+33+45=54*2=108........ans
4.只知一多邊形的周長為287公分，其邊常恰成公差為5公分的等差數列，若最長邊為56公分，求:(1)多邊形的邊數56=a1+(n-1)5 => a1+5n=61287=n*a1+n(n-1)5/2 => a1+5(n-1)/2=287/n相減: 5n-5(n-1)/2=61-287/n10n-5n+5=122-574/n0=n(5n+5)-122n+574=5n^2-117n+574n=7.........ans
(2)最短邊長a1=61-5n=61-35=26.......ans
5.有一等差級數共有偶數個項已知首項為a1=19,公差為d=4，偶數項的和比奇數項的和大20,求:(1)數項S1=n*a1+n(n-1)8/2=n*a1+4n(n-1)S2=n(a1+4)+n(n-1)8/2=n(a1+4)+4n(n-1)S2=S1+20 => n(a1+4)+4n(n-1)=n*a1+4n(n-1)+204n=20 => n=5數項=2*5=10........ans
(2)級數和S=n*a1+n(n-1)d/2=190+10*9*4/2=190+180=370.........ans

2013-03-15 10:01:47 補充：
6.禮堂共有50排座位，第一排有a1=10個座位，且每一排比前一排多d=4個座位。

按照號碼入座，若小雨坐在第7排最後一個座位，小微坐在第9排最後一個座位，

則:

(1)小雨幾號?

Sn=n*a1+n(n-1)d/2

=7*10+7*6*4/2

=70+84

=154.......ans


(2)小微幾號?

S9=9*10+9*8*4/2

=90+9*16

=234.......ans

2013-03-15 10:04:34 補充：
7.求1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+.....+299/3的總和。

S=(1+2+3+....+299)/3

=[n*a1+n(n-1)d/2]/3

=(299*1+299*298*1/2)/3

=(299+299*149)/3

=(1+149)299/3

=299*150/3

=299*50

=14950........ans

2013-03-15 10:13:00 補充：
8.求級數S=10+11-12+13+14-15+.......前100項的和。

a99=a1+(n-1)d

=11+98*1

=109

S100=10+(11-12)+(13-14)+......+(107-108)+109

=10-(1+1+....+1)+109

=10-1*98+109

=119-98

=21........ans

2013-03-15 10:19:46 補充：
9.已知四個數成等差級數列，且和為160，若第一個數和第三個數的比為1:5,求

此四個數的和。

(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=4a+2d=160 => 2a+d=80

(a-d)/(a+d)=1/5

和比: (a-d)/2a=1/6

2a=6a-6d => 2a=3d

=> 80=2a+d=3d+d=4d

d=80/4=20, a=3d/2=60/2=30

So 10,30,50,70........ans