MQ79 --- Trigonometry

sin x + cos x + tan x + csc x + sec x + cot x
= sinx + cosx + sinx / cosx + 1/sinx + 1/cosx + cosx / sinx
= sinx + cosx + (sin²x + cosx + sinx + cos²x) / (sinx cosx)
= sinx + cosx + (sinx + cosx + 1) / (sinx cosx)
= sinx + cosx + ((sinx + cosx)² - 1) / (sinx cosx (sinx + cosx - 1))
= sinx + cosx + 2 sinx cosx / (sinx cosx (sinx + cosx - 1))
= sinx + cosx + 2 / (sinx + cosx - 1)
= √2 sin(π/4 + x) + 2 / (√2 sin(π/4 + x) - 1)
令 k = √2 sin(π/4 + x) , 則 -√2 ≤ k ≤ √2。 令 y = k + 2 / (k - 1) ,
yk - y = k(k - 1) + 2
k² - (y+1)k + y+2 = 0 , 對此方程的根k 有 -√2 ≤ k ≤ √2 , 故成立以下充要條件 :
(-√2)² - (y+1)(-√2) + y+2 ≥ 0
{
(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≥ 0
{
△ = (y+1)² - 4(y+2) ≥ 0
{
-√2 ≤ y+1 ≤ √2
⇒(√2 + 1) y + √2 + 4 ≥ 0
{
4 + √2 - (√2 - 1)y ≥ 0
{
△ = y² - 2y - 7 ≥ 0
{
-√2 - 1 ≤ y ≤ √2 - 1
⇒y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
y ≤ 6 + 5√2 = 13.071...
{
y ≥ 1 + 2√2 = 3.828... 或 y ≤ 1 - 2√2 = - 1.828...
{
- 2.414... = -√2 - 1 ≤ y ≤ √2 - 1 = 0.414...
⇒2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2
故 |y| 的最小值 = | 1 - 2√2 | = 2√2 - 1。

2013-03-14 13:54:51 補充：
-√2 ≤ y+1 ≤ √2 更正為 -√2 ≤ (y+1)/2 ≤ √2 , 則應是

y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
y ≤ 6 + 5√2 = 13.071...
{
y ≥ 1 + 2√2 = 3.828... 或 y ≤ 1 - 2√2 = - 1.828...
{
- 3.828... = -2√2 - 1 ≤ y ≤ 2√2 - 1 = 1.828...

⇒
2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2

故 |y| 的最小值 = | 1 - 2√2 | = 2√2 - 1。

2013-03-15 14:19:36 補充：
第二式(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≥ 0 運算修正為 4 - √2 - (√2 - 1)y ≥ 0
⇒ y ≤ 2 + 3√2 = 6.2426... 結論仍是 2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2。

故當 -√2 ≤ k₁≤ k₂≤ √2 , |y| 的最小值 = |1 - 2√2| = 2√2 - 1 = 1.8284...

2013-03-15 14:19:49 補充：
情況 2 : 當 - √2 ≤ k₁≤ √2 ≤ k₂, 充要條件為 :
(-√2)² - (y+1)(-√2) + y+2 ≥ 0 ⇒ y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≤ 0 ⇒ y ≥ 2 + 3√2 = 6.2426...
⇒ y ≥ 2 + 3√2 = 6.2426... , 故 |y| 最小值 = 2 + 3√2 = 6.2426...

2013-03-15 14:25:16 補充：
情況 3 : 當 k₁≤ - √2 ≤ k₂≤ √2 , 充要條件為 :

(-√2)² - (y+1)(-√2) + y+2 ≤ 0 ⇒ y ≤ 2 - 3√2
{
(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≥ 0 ⇒ y ≤ 2 + 3√2

⇒ y ≤ 2 - 3√2 = - 2.2426... , 故 |y| 最小值 = | 2 - 3√2 | = 3√2 - 2 = 2.2426...

綜上, |y| 的最小值 = 2√2 - 1 = 1.8284...。

2013-03-15 14:31:52 補充：
4組不等式中除運算錯誤外並無不對, 此乃情況1 : -√2 ≤ k₁≤ k₂≤ √2 。
真正問題是忽略了情況2及3 的討論 , 已補充。
謝提醒!

2013-03-15 16:25:54 補充：
從判別式△ = (y+1)² - 4(y+2) ≥ 0
不是得y ≥ 1 + 2√2 = 3.828... 或 y ≤ 1 - 2√2 = - 1.828...嗎?
你為何會有 2+3√2≤ y 呢?
你的判別式是甚麼? 因為我要到情況2先得 2+3√2≤ y。

另外想請教若所得k值不在上下限內，
用甚麼方法考慮邊界值k=√2及k=-√2時的y值?
y最小值會在 k=√2 或 k=-√2 時取到嗎?還是怎樣?

sin x + cos x + tan x + csc x + sec x + cot x
= sinx + cosx + sinx / cosx + 1/sinx + 1/cosx + cosx / sinx
= sinx + cosx + (sin²x + cosx + sinx + cos²x) / (sinx cosx)
= sinx + cosx + (sinx + cosx + 1) / (sinx cosx)
= sinx + cosx + ((sinx + cosx)² - 1) / (sinx cosx (sinx + cosx - 1))
= sinx + cosx + 2 sinx cosx / (sinx cosx (sinx + cosx - 1))
= sinx + cosx + 2 / (sinx + cosx - 1)
= √2 sin(π/4 + x) + 2 / (√2 sin(π/4 + x) - 1)

令 k = √2 sin(π/4 + x) , 則 -√2 ≤ k ≤ √2。

令 y = k + 2 / (k - 1) ,
yk - y = k(k - 1) + 2
k² - (y+1)k + y+2 = 0 , 對此方程的根k 有 -√2 ≤ k ≤ √2 , 故成立以下充要條件 :

(-√2)² - (y+1)(-√2) + y+2 ≥ 0
{
(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≥ 0
{
△ = (y+1)² - 4(y+2) ≥ 0
{
-√2 ≤ y+1 ≤ √2


⇒

(√2 + 1) y + √2 + 4 ≥ 0
{
4 + √2 - (√2 - 1)y ≥ 0
{
△ = y² - 2y - 7 ≥ 0
{
-√2 - 1 ≤ y ≤ √2 - 1


⇒

y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
y ≤ 6 + 5√2 = 13.071...
{
y ≥ 1 + 2√2 = 3.828... 或 y ≤ 1 - 2√2 = - 1.828...
{
- 2.414... = -√2 - 1 ≤ y ≤ √2 - 1 = 0.414...


⇒

2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2


故 |y| 的最小值 = | 1 - 2√2 | = 2√2 - 1。


-√2 ≤ y+1 ≤ √2 更正為 -√2 ≤ (y+1)/2 ≤ √2 , 則應是

y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
y ≤ 6 + 5√2 = 13.071...
{
y ≥ 1 + 2√2 = 3.828... 或 y ≤ 1 - 2√2 = - 1.828...
{
- 3.828... = -2√2 - 1 ≤ y ≤ 2√2 - 1 = 1.828...

⇒
2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2

故 |y| 的最小值 = | 1 - 2√2 | = 2√2 - 1。

2013-03-15 14:19:36 補

第二式(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≥ 0 運算修正為 4 - √2 - (√2 - 1)y ≥ 0
⇒ y ≤ 2 + 3√2 = 6.2426... 結論仍是 2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2。

故當 -√2 ≤ k₁≤ k₂≤ √2 , |y| 的最小值 = |1 - 2√2| = 2√2 - 1 = 1.8284...

2013-03-15 14:19:49 補充

情況 2 : 當 - √2 ≤ k₁≤ √2 ≤ k₂, 充要條件為 :
(-√2)² - (y+1)(-√2) + y+2 ≥ 0 ⇒ y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≤ 0 ⇒ y ≥ 2 + 3√2 = 6.2426...
⇒ y ≥ 2 + 3√2 = 6.2426... , 故 |y| 最小值 = 2 + 3√2 = 6.2426...

sin x + cos x + tan x + csc x + sec x + cot x
= sinx + cosx + sinx / cosx + 1/sinx + 1/cosx + cosx / sinx
= sinx + cosx + (sin²x + cosx + sinx + cos²x) / (sinx cosx)
= sinx + cosx + (sinx + cosx + 1) / (sinx cosx)
= sinx + cosx + ((sinx + cosx)² - 1) / (sinx cosx (sinx + cosx - 1))
= sinx + cosx + 2 sinx cosx / (sinx cosx (sinx + cosx - 1))
= sinx + cosx + 2 / (sinx + cosx - 1)
= √2 sin(π/4 + x) + 2 / (√2 sin(π/4 + x) - 1)


令 k = √2 sin(π/4 + x) , 則 -√2 ≤ k ≤ √2。

令 y = k + 2 / (k - 1) ,
yk - y = k(k - 1) + 2
k² - (y+1)k + y+2 = 0 , 對此方程的根k 有 -√2 ≤ k ≤ √2 , 故成立以下充要條件 :


(-√2)² - (y+1)(-√2) + y+2 ≥ 0
{
(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≥ 0
{
△ = (y+1)² - 4(y+2) ≥ 0
{
-√2 ≤ y+1 ≤ √2


⇒

(√2 + 1) y + √2 + 4 ≥ 0
{
4 + √2 - (√2 - 1)y ≥ 0
{
△ = y² - 2y - 7 ≥ 0
{
-√2 - 1 ≤ y ≤ √2 - 1


⇒

y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
y ≤ 6 + 5√2 = 13.071...
{
y ≥ 1 + 2√2 = 3.828... 或 y ≤ 1 - 2√2 = - 1.828...
{
- 2.414... = -√2 - 1 ≤ y ≤ √2 - 1 = 0.414...


⇒

2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2


故 |y| 的最小值 = | 1 - 2√2 | = 2√2 - 1。

2013-03-14 13:54:51 補充
-√2 ≤ y+1 ≤ √2 更正為 -√2 ≤ (y+1)/2 ≤ √2 , 則應是

y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
y ≤ 6 + 5√2 = 13.071...
{
y ≥ 1 + 2√2 = 3.828... 或 y ≤ 1 - 2√2 = - 1.828...
{
- 3.828... = -2√2 - 1 ≤ y ≤ 2√2 - 1 = 1.828...

⇒
2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2

故 |y| 的最小值 = | 1 - 2√2 | = 2√2 - 1。
2013-03-15 14:19:36 補充
第二式(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≥ 0 運算修正為 4 - √2 - (√2 - 1)y ≥ 0
⇒ y ≤ 2 + 3√2 = 6.2426... 結論仍是 2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2。

故當 -√2 ≤ k₁≤ k₂≤ √2 , |y| 的最小值 = |1 - 2√2| = 2√2 - 1 = 1.8284...
2013-03-15 14:19:49 補充
情況 2 : 當 - √2 ≤ k₁≤ √2 ≤ k₂, 充要條件為 :
(-√2)² - (y+1)(-√2) + y+2 ≥ 0 ⇒ y ≥ 2 - 3√2 = - 2.2426...
{
(√2)² - (y+1)(√2) + y+2 ≤ 0 ⇒ y ≥ 2 + 3√2 = 6.2426...
⇒ y ≥ 2 + 3√2 = 6.2426... , 故 |y| 最小值 = 2 + 3√2 = 6.2426...

y的範圍為 3√2 + 2 ≤ y 或 y ≤ 1 - 2√2 而非 2 - 3√2 ≤ y ≤ 1 - 2√2
4組不等式中有一些是不對的.

2013-03-15 15:31:32 補充：
可能是我看不明你在說甚麼。
若k沒有上下限，單從判別式不等式可得
y≤ 1 - 2√2或2+3√2≤ y
把y= 1 - 2√2代入二元等式得k= 1 - √2在上下限內，故|y| 最小是2√2-1。
若所得k值不在上下限內，則考慮邊界值k=√2及k=-√2時的y值。

2013-03-15 16:50:55 補充：
是我打錯，是1+√2≤y，2+3√2 是k=√2 時y的值。
對於y=k+2/(k-1)這樣簡單的函數，圖像相當簡單，（見圖）
若最小（或最大）值不在範圍，便要考慮邊界。
http://i1090.photobucket.com/albums/i376/Nelson_Yu/int_zpsa6492ff9.jpg

Find the minimum value of y(x) for any real x.Let c=cos(x) & s=sin(x)y(x)=|sinx+cosx+tanx+cscx+secx+cotx|=|s+1/s+c+1/c+s/c+c/s|=|(1+s^2)/s+(1+c^2)/c+(s^2+c^2)/(s*c)|=|(c+c*s^2+s+s*c^2+1)/(s*c)|=|[(c+s)+s*c(s+c)+1]/(s*c)|=|[(c+s)(1+cs)+1]/(cs)|+-y=[(c+s)(1+cs)+1]/(cs)+-y*c*s=1+(c+s)(1+cs)+-[c*s*y'+(c^2-s^2)y]=(c+s)(1+cs)'+(1+cs)(c+s)'Let y'=0 =>+-(c^2-s^2)y=(c+s)(c^2-s^2)+(1+cs)(c-s)+-(c+s)(c-s)y=(c-s){(c+s)^2+(1+cs)}Let c-s=0 => tan(x)=1 => x=45(deg) or -135(deg)y(45)=[(√2/2+√2/2)(1+√2√2/4)+1]/(√2√2/4)=[√2(1+1/2)+1]/(1/2)=2(3√2/2+1)=2+3√2min=y(-135)=|[(c+s)(1+cs)+1]/(cs)|=|[(-√2)(1+1/2)+1]/(1/2)|=|2(-√2*3/2+1)|=|2-3√2|=3√2-2...........ans


2013-03-13 19:50:55 補充：
=2.24264......ans