圓與直線的關係

方法一：
設切點為 (a, b)。
切點在圓及切線上：
a² + b² = 10 ...... [1]
3a - b + k = 0 ...... [2]

由 [2] :
b = 3a + k ...... [3]

將 [3] 代入 [1] 中：
a² + (3a + k)² = 10
a² + 9a² + 6ak + k² = 10
10a² + 6ka + (k² - 10) = 0 ...... [4]

由於直線與圓相切，故此只有一交點。
以上方程式只有一個實根（重根），判別式 Δ = 0
(6k)² - 4(10)(k² - 10) = 0
36k² - 40k² - 400 = 0
k² = 100
k = 10 或 k = -10

當 k = 10 :
將 k = 10 代入 [4] 中：
10a² + 6(10)a + (10² - 10) = 0
10a² + 60a + 90 = 0
a² + 6a + 9 = 0
(a + 3)² = 0
a = -3
把 a = -3 及 k = 10 代入 [3] 中：
b = 3(-3) + (10)
b = 1

當 k = -10 :
將 k = -10 代入 [4] 中：
10a² + 6(-10)a + (10² - 10) = 0
10a² - 60a + 90 = 0
a² - 6a + 9 = 0
(a - 3)² = 0
a = 3
把 a = 3 及 k = -10 代入 [3] 中：
b = 3(3) + (-10)
b = -1

所以，切點為 (-3, 1) 或 (3, -1)。


=====
方法二：
圓：x² + y² = 10
圓心 = (0, 0)
圓半徑 = √10

切線： 3x - y + k = 0
圓心與切線距離 = 圓半徑
|3(0) - (0) + k| / √(3² + 1²) = √10
|k| = 10
k = ±10
切線： 3x - y ± 10 = 0

設切點為 (a, b)。
切點在圓及切線上：
a² + b² = 10 ...... [1]
3a - b ± 10 = 0 ...... [2]

由 [2] :
b = 3a ± 10

當 b = 3a + 10 :
將 b = 3a + 10 代入 [1] 中：
a² + (3a + 10)² = 10
a² + 9a² + 60a + 100 = 10
a² + 6a + 9 = 0
(a + 3)² = 0
a = -3
將 a = -3 代入 b = 3a + 10 中：
b = 3(-3) + 10
b = 1

當 b = 3a - 10 :
將 b = 3a - 10 代入 [1] 中：
a² + (3a - 10)² = 10
a² + 9a² - 60a + 100 = 10
a² - 6a + 9 = 0
(a - 3)² = 0
a = 3
將 a = 3 代入 b = 3a - 10 中：
b = 3(3) - 10
b = -1

所以，切點為 (-3, 1) 或 (3, -1)。

2013-03-15 23:34:41 補充：
一元二次方程式：ax² + bx + c = 0
若只有一根，判別式 = b² - 4ac = 0

10a² + 6ka + (k² - 10) = 0
是一條以 a 為變數的一元二次方程式。
只有一根，判別式 = (6k)² - 4*(10)*(k² - 10) = 0

請問這個方程式怎麼來的 (6k)² - 4(10)(k² - 10) = 0


直線和圓相切可用判別式等於0,即 D=b^2-4ac=0

圓心 (0,0) 到 3x-y+k的距離 = 半徑

|k|/sqrt(10) = sqrt(10) ==> k=10 ,-10