一元二次方程根的取值範圍

[解]
先看mx^2 + (2m+3)x + 1-m = 0 的判別式
(2m+3)^2 - 4m(1-m) = 8m^2 + 8m + 9
其判別式 8^2 - 4*8*9 < 0
所以 8m^2 + 8m + 9 恆正
這表示mx^2 + (2m+3)x + 1-m = 0 必有兩相異實數解

因為 -3 < x1 < 4 且 -5 < x2 < 2
所以 -8 < (x1+x2) < 6 且 -20 < x1x2 < 15
由韋達定理 x1+x2 = -(2m+3)/m 且 x1x2 = (1-m)/m
所以 -8 < -(2m+3)/m < 6 且 -20 < (1-m)/m < 15

(a) -8 < -(2m+3)/m < 6
由 -8 < -(2m+3)/m 解得 m < 0 or m > 1/2
由 -(2m+3)/m < 6 解得 m < -3/8 or m > 0
所以(a)的解為 m < -3/8 or m > 1/2

(b) -20 < (1-m)/m < 15
由 -20 < (1-m)/m 解得 m < -1/19 or m > 0
由 (1-m)/m < 15 解得 m < 0 or m > 1/16
所以(b)的解為 m < -1/19 or m > 1/16

(a)(b)為交集的關係，所以合解為 m < -3/8 or m > 1/2
此為 -3 < x1 < 4 且 -5 < x2 < 2 的必要條件。

因為別的x1和x2的條件也可能求得此結果，所以只有必要條件，沒有充要條件。

(1)韋達定理仍然有效，由x1和x2的範圍來看，不一定x1比x2大。例如x1=-2，x2=1仍然符合。

(2)不可x1取正，x2取負，理由同(1)。








2013-03-14 21:13:50 補充：
韋達定理怎會使範圍擴大呢？

韋達定理是根與係數的關係，是根據根的範圍而定的，不會有擴大或縮小範圍的情形發生。韋達定理對任何多項式方程式都是成立的，不然在數學上怎麼能夠被稱為"定理"呢？

你所謂韋達定理會使範圍擴大，要有理由或例證來支持你的說法才算成立。

韋達定理和任何求根公式也不會相違背，如果你認為有違背，也請說出理由或舉出例證，我們再來討論。

2013-03-16 22:16:19 補充：
我了解你的意思了，也發現問題之所在了。
我推出的 -8 < x1 + x2 < 6 和 -20 < x1x2 < 15
是各別成立的，但無法同時成立。也就是說
當 x1 + x2 為最大值 6 時，x1x2 得不到最大值 15，因為此時 x1x2 = 8
同樣的，當 x1x2 為最大值 15 時，x1 + x2 也得不到最大值15，因為此時
x1 + x2 = -8，就是問題所在。因此你說得對，這種情況下必須用求根的方式作。

至於韋達定理並非無效，而是因為無法取出適當的範圍給韋達定理取值，因此無法直接用韋達定理解題。