20點@--@急~幫我啊!數學題(要有詳細說明)

把 n x n 正方形的 n² 個 1 x 1 方格分別染上 n² 種不同的顏色(非紅色)。

用無限個上述染色後的 n x n 正方形以相同方向拼成一個無限大的方格表。
那麼方格表上的格子依其不同顏色共分成了 n² 類。
當一個 n x n 的正方形小紙版沿著方格表的格線放置後,
將會蓋住方格表上的 n² 個小方格,由於任何兩個同色的格子, 無論橫直斜都至少相隔 n 個格位,故任何一種顏色的格子至多只有一個被蓋,即被蓋的 n² 個小方格互不同色, 而顏色亦只有 n² 種,因此所有顏色的格子都有且只有一個被蓋。
換句話說,無論一個 n x n 的正方形小紙版沿著方格表的格線怎樣放置,都恰好蓋住了所有 n² 種顏色的格子各一個。
設其中一種格子顏色是紫色,有 k 個紫色格被蓋(1 ≤ k ≤ n²),
那麼該 k 個紫色格中至少有一個被蓋了奇數次,
否則 k 個紫色格都被蓋偶數次則它們被蓋次數總和將為偶數,
這與被蓋總次數為 2013 矛盾!
同理,每種顔色的格子都至少有一個被蓋了奇數次,
因為共有 n² 種顏色,所以至少有 n² 個格子被蓋了奇數次,
那麼塗上紅色的小方格數不少於 n²,證畢。



2013-03-14 13:58:02 補充：
1 ≤ k ≤ n² 更正為 1 ≤ k ≤ 2013。

2013是奇數

考慮1片紙板時，紅色方格=n^2

考慮3片紙板時，將其中2片重疊，紅色方格=n^2，其他放法紅色方格n^2

同理，2013片時，最少的狀況，將2012片紙板疊在一起，最後一片隨便放
紅色方格>=n^2