數學-AIMO考題問題

小六: 1² + 2³ + 3⁴ + 4⁵ + 5⁶ + 6⁷+ 7⁸ + 8⁹ + 9¹º + 10¹¹ 的個位數
= 1 + 8 + 1 + 4 + 5 + 6 + 1 + 8 + 1 + 0 = 35 的個位數
= 5故所求個位數 = 5 * (2010/10) = 5 * 201 的個位數 = 5。 國二: 2x² - 6xy + 9y² = 2011
4x² - 12xy + 18y² = 4022
4x² - 2(2x)(3y) + 9y² + 9y² = 4022
(2x - 3y)² + (3y)² = 4022但 4022 ≡ 2 (mod 3)
故 (2x - 3y)² ≡ 2 (mod 3) , 但平方數 ≡ 1 或 0 (mod 3) , 矛盾!
故 2x² - 6xy + 9y² = 2011 無正整數解。 國三: 1234x ≡ 33 (mod 2013)
設
1234x = 2013y + 33
1234x = 33*61y + 33
1234x = 33(61y + 1)
因 1234 與 33 互質 , 設 x = 33x' ,
1234x' = 61y + 1
1220x' + 14x' = 61y + 1
61(20x' - y) = 1 - 14x'
令 20x' - y = k ,
56k + 5k = 1 - 14x'
14(4k + x') = 1 - 5k
1 - 5k 是 14 的倍數 , 可取 k = 3 , 則 14(4*3 + x') = - 14
x' = - 13
x = 33x' = - 429
故 1234x ≡ 33 (mod 2013) 的最小正整數解 = 2013 - 429 = 1584。


2013-03-07 01:00:43 補充：
小六那題錯了,現在很眼睏,明天修正。

2013-03-07 16:12:29 補充：
修正小六 :

1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 + 5^6 + 6^7 + ... + 2010^2011 的個位數
= (1^2 + 1^12 + 1^22 + ... + 1^2002
+ 2^3 + 2^13 + 2^23 + ... + 2^2003
+ 3^4 + 3^14 + 3^24 + ... + 3^2004
+ ...
+ 9^10 + 9^20 + 9^30 + ... + 9^2010) 的個位數。

2013-03-07 16:13:19 補充：
= ( 1^2 + 1^12 + 1^22 + ... + 1^2002
+ 2^3 + 2^13 + 2^23 + ... + 2^2003
+ 3^4 + 3^14 + 3^24 + ... + 3^2004
+ 4^5 + 4^15 + 4^25 + ... + 4^2005
+ 5^6 + 5^16 + 5^26 + ... + 5^2006

2013-03-07 16:13:39 補充：
+ (-4)^7 + (-4)^17 + (-4)^27 + ... + (-4)^2007
+ (-3)^8 + (-3)^18 + (-3)^28 + ... + (-3)^2008
+ (-2)^9 + (-2)^19 + (-2)^29 + ... + (-2)^2009
+ (-1)^10 + (-1)^20 + (-1)^30 + ... + (-1)^2010 ) 的個位數。

2013-03-07 16:14:59 補充：
= [ 2^3 + 2^13 + 2^23 + ... + 2^2003
- (2^9 + 2^19 + 2^29 + ... + 2^2009)
+ 3^4 + 3^14 + 3^24 + ... + 3^2004
+ 3^8 + 3^18 + 3^28 + ... + 3^2008
+ 4^5 + 4^15 + 4^25 + ... + 4^2005
- (4^7 + 4^17 + 4^27 + ... + 4^2007)
+ 201 + 5 * 201 + 201 ] 的個位數。

2每4次方循環 : 2 4 8 6
3每4次方循環 : 3 9 7 1
4每2次方循環 : 4 6

2013-03-07 16:15:08 補充：
= [ 8 + 2 + 8 + 2 + ... + 8
- (2 + 8 + 2 + 8 + ... + 2)
+ 1 + 9 + 1 + 9 + ... + 1
+ 1 + 9 + 1 + 9 + ... + 1
+ 4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4
- (4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4)
+ 7 ] 的個位數。

= [8
- 2
+ (1 + 9)100 + 1
+ (1 + 9)100 + 1
+ 7] 的個位數。

= 8 - 2 + 1 + 1 + 7 = 15 的個位數 = 5。

2013-03-07 16:20:00 補充：
To 諸葛諭遜 , 請問你是怎知前 2000 項的個位總和確是 0 的 ?

計法有點，只是有點唔妥，因為前2000項的個位總和確是0，所以答案正確。