✔ 最佳答案
1)201120112011...2011 / 137= 2011(00010001 00010001 ... 00010001 0001) / 137
...........{...........1005個 ''00010001''..........}= 2011(00010001 00010001 ... 00010001 0000) / 137 + 2011 / 137
...........{...........1005個 ''00010001''..........}= 2011(00000073 00000073 ... 00000073 0000) + 2011 / 137而 2011 / 137 = 14 餘 93 , 即所求餘數 = 93。
2)設 AB = 10 為底 , CH 為高 , 則
AB + BH = CH
10 + BH = CH又 BH² + CH² = 50²
(CH - 10)² + CH² = 2500
2CH² - 20CH + 100 = 2500
CH² - 10CH - 1200 = 0
(CH - 40)(CH + 30) = 0
CH = 40 或 - 30(捨)△ABC面積 = AB * CH / 2 = 10 * 40 / 2 = 200。
3)1/(1×2×3)+2/(3×4×5)+3/(5×6×7)+⋯+2011/(4021×4022×4023)= (1/2) [ 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + ... + 1/(4021*4023) ]= (1/2) [(1/1 - 1/3)/2 + (1/3 - 1/5)/2 + (1/5 - 1/7)/2 + ... + (1/4021 - 1/4023)/2] = (1/4) (1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... - 1/4021 + 1/4021 - 1/4023)= (1/4) (1/1 - 1/4023)= (1/4) (4022/4023)= 2011 / 8046
4)2011^2011+2012^2012+2013^2013+...+2019^2019 的個位數= 1^2011 + 2^2012 + 3^2013 + 4^2014 + ... + 9^2019 的個位數
1
2 , 2^2 = 4 , 2^3 = 8 , 2^4 個位數= 6 , 2^5 個位數 = 2 , 每 4 次方循環一次。
故 2^2012 個位數 = 6。
3 , 9 , 7 , 1 , 3 .... 每 4 次方循環一次。
2013 / 4 餘 1 , 故 3^2013 個位數 = 3。
4 , 6 , 4 .... 每 2 次方循環一次。
5
6
7 , 9 , 3 , 1 , 7 ....每 4 次方循環一次。
8 , 4 , 2 , 6 , 8 ..... 每 4 次方循環一次。
9 , 1 , 9 .... 每 2 次方循環一次。
故 1^2011 + 2^2012 + 3^2013 + 4^2014 + 5^2015
+ 6^2016 + 7^2017 + 8^2018 + 9^2019 的個位數= 1 + 6 + 3 + 6 + 5 + 6 + 7 + 4 + 9 的個位數= 47 的個位數= 7
2013-02-28 23:36:10 補充：
求 201120112011...2011 / 137 的餘數 (2011個"2011")
先考慮 2 個 : 20112011 = 2011 * 10001 = 2011 * 73 * 137
即 2 個 2011 = 20112011 被 137 整除 。
故 2010 個 2011 也被 137 整除。
剩下的最後一個 2011 不被 137 整除 , 餘數 = 93。(答案)
