傅立葉意義

一． 傅裡葉級數的三角函數形式 設f(t)為一非正弦週期函數，其週期為T，頻率和角頻率分別為f , ω1。由於工程實際中的非正弦週期函數，一般都滿足狄裡赫利條件，所以可將它展開成傅裡葉級數。即 其中A0/2稱為直流分量或恒定分量；其餘所有的項是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數倍關係的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或基波，A1，ψ1分別為其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，A2，ψ2分別為其振幅和初相角；其餘的項分別稱為三次諧波，四次諧波等。基波，三次諧波，五次諧波......統稱為奇次諧波；二次諧波，四次諧波......統稱為偶次諧波；除恒定分量和基波外，其餘各項統稱為高次諧波。式（10-2-1）說明一個非正弦週期函數可以表示一個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。 上式有可改寫為如下形式，即 當A0，An, ψn求得後，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦週期函數f(t)的傅裡葉級數展開式。 把非正弦週期函數f(t)展開成傅裡葉級數也稱為諧波分析。工程實際中所遇到的非正弦週期函數大約有十余種，它們的傅裡葉級數展開式前人都已作出，可從各種數學書籍中直接查用。 從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)後即可證明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是離散變數n的偶函數，bn和ψn是n的奇函數。 二． 傅裡葉級數的複指數形式 將式（10-2-2）改寫為 可見 與 互為共軛複數。代入式（10-2-4）有 上式即為傅裡葉級數的複指數形式。 下面對和上式的物理意義予以說明： 由式（10-2-5）得的模和輻角分別為 可見的模與幅角即分別為傅裡葉級數第n次諧波的振幅An與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的複數振幅。 的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號表示，即 即根據式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)展開成了複指數形式的傅立葉級數。 在（10-2-7）中，由於離散變數n是從（-∞）取值，從而出現了負頻率（-nω1）。但實際工程中負頻率是無意義的，負頻率的出現只具有數學意義，負頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構成了一個頻率為nω1的正弦分量。即 引入傅立葉級數複指數形式的好處有二：（1）複數振幅同時描述了第n次諧波的振幅An和初相角ψn；（2）為研究信號的頻譜提供了途徑和方便