我們的直覺在做數學上的判斷可靠性有多高(進階版)

　　敝人原本想要在意見欄作題，可是發現解說部分可能有點長，就試著在回答欄作題了。以下cardinality敝人都簡化為card.

　　首先，我們來探討一下兩個infinite sets的card.什麼時候會一樣多：

　　如果我們可以從一集合A中確定它的card.為aleph number，且可以找到一個function f 使得A集合對上B集合為one-to-one & onto，則兩集合的card.相等。

　　回到這個問題上，假設以William兄的對照方式，現在我們假設座標系中以x=1&y=1所成之範圍的每個點可以表示為( 0.(a_11)(a_12)(a_13)... , 0.(a_21)(a_22)(a_23)... )及實數軸上0到1的區間每個點可表示為0.(b_1)(b_2)(b_3)...，則找到一個關係使得0.(b_1)(b_2)(b_3)...=0.(a_11)(a_12)(a_13)...(a_21)(a_22)(a_23)...。

　　到此為止，其實存在一個矛盾：這個關係並非onto，為何？現在不要做太複雜的式子，敝人以反例來處理。假設在實數軸上得到的解同William兄舉例的0.35906381147381，對它作反關係，它能得到的並非只有( 0.3590638 , 0.1147381 )，( 0.359063 , 0.81147381 )也是它反關係的一個解，故非為onto。

　　那究竟依照William兄的方式有沒有辦法處理這個問題呢？答案是可以的，為何？現在我們假設自座標系正方形中的x,y皆有小數n位，位數不足補0，例如( 0 , 0.12345 )，代表x = 0.00000，y = 0.12345，而實數軸區間上的每個點為小數2n位，關係如前所述，神奇的事情發生了，我們可以得到兩者的card.居然是相同的！

　　為什麼會這樣呢？其實這是假設的問題，現在如果我們不處理一開始所作的假設，那這個關係始終會存在一個矛盾：實數軸上的一個點可以對任意位數取值，代表我們得到的點是不穩定狀態，但是，只要我們處理的是位數問題，其實問題就回到了之前球數是否相同的問題，我們證明n與2n，當n為自然數時，擁有相同的card.，自然可以拓展到這個問題上，雖然這兩個集合的card.並非等同於自然數的card.。

　　其餘證明敝人就不再贅述，因為懶病發了，有興趣的話可以去看一些與集合論相關的書籍，去想想內容所表示的，之後再回來這個問題作思考。

　　以下是給冠穎兄的：

　　其實這種問題別太在意無限的定義，私以為閣下所舉的題目就如同William兄所說的。

　　但是，敝人可以給予閣下一點有趣的想法：其實無限是另一種形式的有限。

　　如果我們要在一個無限的自然數集、有理數集、無理數集甚至實數集上找到您想要的數，可以嗎？答案是可以的，因為無論閣下提出什麼樣的數，都能在相對應的集合上找到這樣的數，只是數量龐大，我們真的無法枚舉，所以給予一個定義叫做「無限」。

　　也因此，在科學，尤其是數學的領域上，對無限的處理是慎之又慎，對其的規範更是嚴格，例如1 ^ ∞、∞ ^ 0、∞ - ∞等indeterminate form，這三個看起來好像會等於一個數，但不然，因為裡面的內涵實際上包括了其他概念的。

　　至於這三個indeterminate form敝人就不再贅述，有興趣的話，一般微積分的書就有相關的概念。

2013-02-23 21:18:22 補充：
　　William兄，敝人對您的補充稍微提一下意見，希望您別介意才好。

　　如果只是做交錯的動作，很容易會讓兩個集合的函數關係呈現非onto的狀況，例如( 0.1111 , 0.111111 ) 與 ( 0.11111 , 0.11111 )得到的均為0.1111111111。私以為對x,y取一定位數再下去取實數值比較好，如上面這個例子，得到的就會是0.111100111111以及0.1111111111。

2013-02-23 22:15:26 補充：
　　當然，如果交替的部分，將無數字的部分視為0是一樣可以做對應的。

2013-02-23 22:58:04 補充：
　　其實敝人一直相信無論什麼學問，只要有心學習，就算不經過相關科系的訓練，也能成為一個優秀的研究者，差別只是在某些問題上要鑽研的更辛苦一些罷了，像William兄就是一個很好的例子。

　　一些解不開的問題，自己解開固然有成就感，與一群人一起討論也會很有趣，可惜下次閣下出題時，不知敝人是否已經去雲遊了，敝人通常出現在這不會超過一個月，就好似五柳先生一般，「造飲輒盡，期在必醉，既醉則退，曾不吝情去留」啊！

不需要去酸人家說什麼洗點數成為專家吧！畢竟是不是洗點數是看得出來的。何況學習是不分資歷的深淺和年紀大小,學習本來就是要一起學習。

疏忽的地方: 合成的xy座標不能用串接方式 因為x找不到最後一數字
分析中沒有1-1函數

William大 我有一個疑問
但是是你上一個發問的
就是 "以下兩種球無限排列下去，你認為哪一種多？" 這個

我不懂無限的概念
但是假如白球 黑球個數 是人去準備的
甲準備白球
乙準備黑球

甲：我要準備無限多個白球
乙：我要準備無限多個黑球
這兩句話應該符合題目

甲：我要準備無限多個白球
乙：我要準備白球數量的1/2個黑球
這應該也符合題目

那為什麼是一樣多呢
果然還是跟"無限"有關係嗎

2013-02-23 20:11:38 補充：
好的 大概了解了 基數的概念 感謝~

進哥大

謝謝您，不過沒關係，不用再花筆墨了，我不會在意他所說的。

其實我是發心上來100天幫大家解答順便向大家學習的。
因為給自己100天的期限，所以解得蠻積極的，由於對知識+系統還不太熟，我都不知道自己擠到排行前面去了，聽您一說，才驚覺這樣實在不太好。早知有這種排行我就踩煞車，排在大師和知識長們的前面真讓我誠惶誠恐。

2013-02-23 16:43:41 補充：
100天期限下週就到期了，之後我還是偶爾會上來學習跟解答，但次數會少很多了。短短三個多月結識了很多知識+上的各方先進善知識以及好朋友們，給予我很多的幫助與指導，讓我收穫滿滿，進步良多。還有一些很有上進心或很可愛的小朋友們，讓我重拾童心。都在此一併感謝感恩！

2013-02-23 19:55:16 補充：
冠穎大
無限大並不是一個數，只是一個概念，一種狀態。若是一個數，就有其限度，就在數線上某個點標得出來，那這個數就不是無限大，因為數線上在他右邊還有更大的數。因此乙說要準備白球數量的1/2是準備不出來的，因為乙根本不知道甲的數量是多少，且因甲要準備無限多個 ，他也只能準備無限多個。
黑球看起來是比較少的，但若是把黑球編號成1,2,3,4,.....，和白球的編號1,2,3,4....可以形成一對一的對應，無限大有一個很重要的概念，就是後面是源源不絕的，既然源源不絕，這種一對一就會永遠對應下去。其實說一樣多也不是一個很好的講法。因為說一樣多，又有一個數字，又不是無限了。

2013-02-23 19:55:52 補充：
比較好的說法就是，隨便你說白球要幾個，我黑球都可以給你一樣多個，隨便你講喔！那這樣白球黑球是不是可視為一樣多？但這是一種方便說法，在無限大的討論中，我們不講一樣或不一樣多，只要有一對一對應關係的，我們稱他們有一樣的基數，也就是影大所提的cardinality。基數一樣的兩種無限大就有這種要多少，那種就有多少的對應。
但是無限大中還是有大小，這又是很奇怪的事，但卻是事實。在上個問題中，Shadow 影兄在意見欄講了很多重要的觀念，不能等閒視之，譬如說他提到實數的基數更大，這是正確的。

2013-02-23 19:56:13 補充：
譬如，所有的有理數有無限多個，0到1之間的無理數也是無限多個，但因為無理數的基數比有理數大，所以我有辦法證明0到1之間的無理數比所有的有理數還多。所以，在"無限"的世界裡，不能用直覺，要用基數的觀念來比較。基數一樣的，就是方便說裡的"一樣多"了。

2013-02-23 22:40:50 補充：
企鵝大

謝謝您，但不用再提這件事了。就視為是考試，磨練的道場就好。

看到殺成大的這番言論,實在令人感到蠻遺憾的,
看一下現在的分類高手排名,William大排名第一,
當然很多人會認為這只是虛名,沒什麼意義,
但它代表了最近數學版這邊最熱心回答而且採用率最高的排名,
William 大比其他幾位大師甚至知識長都還要高,
因為William 大才來知識+幾個月,答題數還不夠多,
以他的採用率,只要累積足夠的答題數,升到大師是一定的,
甚至升為知識長也很有可能,但我相信William 大是不會希罕這虛名的,

2013-02-23 13:07:03 補充：
但是這樣熱心助人的人,卻被說成洗版洗到專家5級,
看了實在令人很難過,
也許這是一般人常有的酸葡萄心理,我也相信William 大不會介意,

殺成大最後問 William 大是怎麼洗到專家的,
我來幫 William 大回答好了,
簡單說, William 大這個禮拜回答了二十幾題,
如果殺成大能像 William 大這麼熱心,我相信再過不久,
應該也有機會升到專家5級,
但是不能三言兩語的簡答,要像 William大那樣詳細解說,
否則不被提問者採用,採用率不高,
那也只能一直當實習生了.

無限大的數是無法比較大小或多寡的

請搜尋「無限旅社」看一下(應該是這個名稱或是打無限應該也有例子)

簡單舉例

正整數：無限多
正偶數：無限多
兩者無法比較數量
對應n=2m
可找到一對一對應，但直覺上正整數應該是正偶數的2倍

小朋友，用點來描述線，的確是無限多，但是線是有長度的，長度又有單位，單位也不是絕對的，單位要定義，你拿的尺量到的都不會是真的長度，所以有一種說法，叫做幾近，或者相似，或者大概吧，怎麼說呢，數學是絕對的，0到1,中間有無限多個點，但是距離就是一，化成單位，就亂七八糟，有誤差...........

不知道你懂不懂，你長大，你會學微積分，這也沒什麼學問，你會學到dY/dx的概念，這就是無限小的數學，你學到微積分的時候，你問的問題就很容易懂了!!!!!!





2013-02-23 01:58:10 補充：
你專家五級，我看的快吐了!!!!!
怎麼洗的阿???教我一下吧!!!!!