絕對值不等式

|x + 1| + |x - 5| = 8

情況一：當 x < -1
x + 1 < 0 所以 |x + 1| = -(x + 1)
x - 5 < 0 所以 |x - 5| = -(x - 5)
因為 |x + 1| +|x - 5| = 8
所以 -(x + 1) - (x - 5) = 8
2x = -4
x = -2

情況二：當 -1 ≤ x <5
x + 1 ≥ 0 所以 |x + 1| = x + 1
x - 5 < 0 所以 |x - 5| = -(x - 5)
因為 |x + 1| +|x - 5| = 8
所以 (x + 1) -(x - 5) = 8
6 = 8 (不可能)
情況二無解

情況三：當 x ≥ 5
x + 1 > 0 所以 |x + 1| = x + 1
x - 5 ≥ 0 所以 |x - 5| = x - 5
因為 |x + 1| +|x - 5| = 8
所以 (x + 1) +(x - 5) = 8
2x = 12
x = 6

綜合以上情況： x = -2 或 x = 6


|x + 1| - |2x - 3| = 0
|x + 1| = |2x - 3|

情況一：當 x < -1
x + 1 < 0 所以 |x + 1| = -(x + 1)
2x - 3 < 0 所以 |2x - 3| = -(2x - 3)
因為 |x + 1| =|2x - 3|
所以 -(x + 1) = -(2x - 3)
x + 1 = 2x - 3
x = 4 (捨棄、因不符合 x < -1 的條件)
此情況無解

情況二：當 -1 ≤ x <3/2
x + 1 ≥ 0 所以 |x + 1| = x + 1
2x - 3 < 0 所以 |2x - 3| = -(2x - 3)
因為 |x + 1| =|2x - 3|
所以 x + 1 =-(2x - 3)
x + 1 = -2x + 3
3x = 2
x = 2/3

情況三：當 x ≥ 3/2
x + 1 > 0 所以 |x + 1| = x + 1
2x - 3 ≥ 0 所以 |2x - 3| = 2x - 3
因為 |x + 1| =|2x - 3|
所以 x + 1 =2x - 3
x = 4

綜合以上情況： x = 2/3 或 x = 4


|x + 2| + |x - 4| = 10

情況一：當 x < -2
x + 2 < 0 所以 |x + 2| = -(x + 2)
x - 4 < 0 所以 |x - 4| = -(x - 4)
因為 |x + 2| +|x - 4| = 10
所以 -(x +2 )- (x - 4) = 10
2x = -8
x = -4

情況二：當 -2 ≤ x <4
x + 2 ≥ 0 所以 |x + 2| = x + 2
x - 4 < 0 所以 |x - 4| = -(x - 4)
因為 |x + 2| +|x - 4| = 10
所以 (x + 2) -(x - 4) = 8
6 = 8 (不可能)
情況二無解

情況三：當 x ≥ 4
x + 2 > 0 所以 |x + 2| = x + 2
x - 4 ≥ 0 所以 |x - 4| = x - 4
因此 (x + 1) + (x - 5) = 8
2x = 12
x = 6

綜合以上情況： x = -4 或 x = 6