同餘方程一

1)
68¹²º
≡ (68^5)^24
≡ (- 32)^24
≡ 2¹²º
≡ (2¹¹)¹º * 2¹º
≡ 35¹º * 1024
≡ 5¹º * 7¹º * 1024
≡ 562 * 1024 * 1024
≡ 1 = x (mod 2013)

2)
68¹º¹
≡ (68^5)²º * 68
≡ (- 32)²º * 68
≡ 2¹ºº * 68
≡ (2¹¹)^9 * 2 * 68
≡ 35^9 * 136
≡ 602³ * 136
≡ 281 * 136
≡ 1982 = x (mod 2013)

3)
1001¹ºº³
≡ 91¹ºº³ * 11¹ºº³
≡ (91^4)^250 * 91³ * (11^5)²ºº * 11³
≡ 103^250 * 91³ * 11²ºº * 11³
≡ 103^250 * 91³ * ((11^5)^5)^8 * 11³
≡ (103^4)^62 * 103² * 91³ * 11^8 * 11³
≡ 25^62 * 103² * 91³ * 11^5 * 11^5 * 11
≡ (25^6)¹º * 25² * 103² * 91³ * 11 * 11 * 11
≡ (- 41)¹º * 25² * 103² * 91³ * 11 * 11 * 11
≡ (41^5)² * 25² * 103² * 91³ * 11 * 11 * 11
≡ (- 1)² * 25² * 103² * 91³ * 11 * 11 * 11
≡ 2575² * 1001³
≡ - 197 * - 418
≡ 82346
≡ 1826 = x (mod 2013)

4)
12x ≡ 18 (mod 42)故 2x ≡ 3 (mod 7) ... (1)
又 7x ≡ 0 (mod 7) ... (2)(1)*4 - (2) :
8x - 7x ≡ 12 - 0 (mod 7)
x ≡ 12 (mod 7)
x ≡ 5 (mod 7)