✔ 最佳答案
我覺得這是一個相當tricky的證明，但也沒有非常的tricky。感覺上，這是一個引君入甕式或射完箭再畫箭靶式的證明。
為何這樣說呢？關鍵就在於題目的前提已經逕下定論了。
既然前提是f(n)收斂於t，那就表示f(∞)收斂於t，也就是f(∞)的值趨近於t。也就是f(∞)的值可以任意地接近t。可是題目就先入為主的規定，雖然可以無限地接近，但這種情形必須記作 f(∞) =/= t。若這樣的規定必須遵從，不用證明，就必須說 0.999.... =/= 1。所以說，這是一個已定下立場再來討論的論證。證明過程沒有問題，是前提有問題。
事實上核心問題在於，f(∞)的值趨近於t，可不可以就說f(∞) = t 或 f(∞) =/= t，是有爭議的。為了避免爭議，所以數學家才用δ-ε的方式來描述這個問題。而把f(∞)的值趨近於t的情形寫成 lim(n->∞) f(n) = t，而避開 f(∞) = t 或 f(∞) =/= t 哪個是對的問題。或許有人會說，f(∞) 也是一個數啊，既然它是一個數，那不是等於t就是不等於t，這問題不能迴避，因為真理只有一個。是這樣嗎？留待大家思考看看，我下午再上來把這個問題更深入的討論下去。
2013-02-09 16:22:21 補充：
0.999… 是否等於1？
若說0.999…個位數是0，1個位數是1，當然0.999…比1小，所以0.999...不等於1。這樣看似正確，其實不然。若0.999…這些9們可以大到擠進個位數，情況將改觀。若說0.999…比1 小，那你就必須告訴我小多少？若將1減0.999…寫成直式對齊開始做減法以便告訴我他們相差多少，結果是0.00000………，請問這個數是0還是非0？你說終究會出現1，我說不會，因為這些0永遠寫不完，你說出現1，那就代表減法結束，那就不是真正的0.999…，所以1要無限長的時間才會出現，而這個無限長的時間盡頭永遠不會出現，因為一出現，就不能稱為無限長的時間。
2013-02-09 16:23:07 補充：
既然時間盡頭無法出現，1就無法出現，1無法出現，那永遠是0.000….，請問這個數是0還是非0？若說真理只有一個，它不是0就是非0，我說，錯，真理只有一個，真理是無法說他是0或非0，它是一個永遠無法找到的數。無法找到的數就無法確定是0或非0。你說他非0，也就是1會出現，它就是一個有理數，但兩個有理數0和此數之間必還有至少一個有理數，因此，你說的這個最小的非0的數仍然不是0.999…，也就是，0.999…比你認為最小的非0數還小，那你如何定義它？它不是最小的非0數，所以他非非0，非非0，那就是0囉，若你承認它只好為0，那又被我騙了，因為這樣就承認0.999…等於1。
2013-02-09 16:23:47 補充：
另一個例子，直線和圓是一還是二？a表”│”兩端無限延長，它是直線。b表”(“兩端延長，它是圓的一部分。b有它的半徑和圓心，若將b的兩端拉直一些，更像a一些，這個圓的半徑更大，圓心更遠。把b拉得越像a，半徑越大，圓心越遠。若把b拉到無限接近a的樣子，它算不算直線？你說不算，因為他只不過是半徑非常非常大，圓心非常非常遠的一個很大的圓的一部分。那我問你，a算不算是一個圓？你說不算，因為圓和直現在你心中有一個界線。我說a是圓，只是他的半徑無限大，圓心在無限遠處，你同意嗎？若同意，直線和圓的界線在哪裡呢？或是這樣問，若a不是圓，a的兩端要往右彎多少角度才算圓呢？
2013-02-09 16:24:17 補充：
你一講出一個度數，我就說不對，我會問你，若這樣才叫圓，那我以你一半的度數去彎不就不叫圓而仍是直線囉？所以直線和圓的界線是不存在的，同理0.999…和1的界線是不存在的，既然界線不存在，那0.999…就等於1囉？那你又被我騙了。真正的答案是，我們找不到那個數，我們無法判斷他們相不相等，我們只能寫
0.999… 趨近於1，符號：lim(9無限多個) 0.999… = 1。
結論：lim f(∞)=t，但f(∞)不能說是等於或不等於t。
還可以更深入論述，但論述到此就可以了。
2013-02-09 16:31:08 補充：
還有，版主我不認為兩相異數之間存在另一相異數這樣可以稱為連續公理。例如，任意兩相異有理數之間必還有至少一個有理數，在實數線上的有理數是密密麻麻的，也就是有理數有稠密性，但有理數之間並不是連續的，因為其間還有無數個斷點，像√2,√(5.9713),π.....等等，所以還是不連續的。
2013-02-09 21:49:42 補充：
1."=/=" 是"不等於"的意思，就是我們手寫時將等號斜斜劃掉的意思。
2.直線和圓的例子並不牽強，這個例子的意思可想成直線是1，圓弧是0.3,0.5,0.7....越來越直，若是0.999...，就無限接近成為直線，要找出直線和圓的界線，就是等同於找0.999...和1之間的界線。是同一個問題，並不牽強。
3.循環小數轉分數的方法並非定論，在外國數學界仍有爭議。
2013-02-09 21:49:56 補充：
4.我認為無法認可或不認可，這需要進一步論述，以後有機會再談論。
5.無窮小量若定為不是0，就等於定0.999... =/= 1，這又回到一開始的先下結論再討論的問題。無窮小量是否能說成不為0，其實還有討論的空間，以後有機會再討論。
2013-02-10 14:46:00 補充：
完全認同 物大師 的解釋！
